Question

某科幻小說中有下列一段描述，宇宙中有一球型均勻帶電天體，其質(zhì)量為m，半徑為R．宇航員王小明乘坐飛行器，登上該天體，用質(zhì)量為M，帶電量為q的小球進(jìn)行如下操作．第一次，讓小球帶負(fù)電，從距該天體表面為h的位置由靜止釋放，發(fā)現(xiàn)小球懸浮不動；第二次，讓小球帶正電，從相同的位置，用小型發(fā)射裝置將小球以某一速度水平發(fā)射，發(fā)現(xiàn)小球恰能在距天體表面為h的軌道上做勻速圓周運(yùn)動．（已知萬有引力常量為G，靜電力恒量為k）試根據(jù)以上信息求：
（1）該天體所帶電的電性及其電量；
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動加速度的大小；
（3）小球繞天體運(yùn)動一周所用的時間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)小球受萬有引力和庫侖力平衡，確定出天體所帶電的電性和電量．
（2）小球受萬有引力和庫侖力，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．
（3）小球繞該天體做圓周運(yùn)動，根據(jù)合力（即萬有引力和庫侖力的合力）提供向心力，求出速度．再根據(jù)T=

2πr

r

 求出周期．

解答：解：（1）第一次小球靜止，受萬有引力與庫侖力等值反向，故天體帶負(fù)電，
設(shè)天體帶電量為Q
由

GmM

(R+h)2

=

kQq

(R+h)2

得
Q=

GmM

kq

（2）小球受萬有引力和庫侖力，根據(jù)牛頓第二定律得：
由

GmM

(R+h)2

+

kQq

(R+h)2

=Ma  
得小球加速度大小為 a=

2Gm

(R+h)2

（3）小球繞該天體做圓周運(yùn)動，根據(jù)合力（即萬有引力和庫侖力的合力）提供向心力，

GmM

(R+h)2

+

kQq

(R+h)2

=

Mv2

R+h

小球做圓周運(yùn)動的線速度  v=

2Gm R+h

小球線天體運(yùn)動一周所用的時間 T=2π

R+h

v

將v值代入得 T=π

2(R+h)3 Gm

答：（1）該天體所帶電的電性及其電量是

GmM

kq

；
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動加速度的大小是

2Gm

(R+h)2

；
（3）小球繞天體運(yùn)動一周所用的時間是π

2(R+h)3 Gm

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵知道水平發(fā)射小球，與天體表面距離始終為h，小球繞天體做圓周運(yùn)動．根據(jù)合力提供向心力求出速度．