Question

如圖所示，無(wú)重力空間中有一恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于xOy平面向外，大小為B，沿x軸放置一個(gè)垂直于xOy平面的較大的熒光屏，P點(diǎn)位于熒光屏上，在y軸上的A點(diǎn)放置一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為m、電荷量+q的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，P點(diǎn)處在亮線上，已知OA=OP=l，求：
（1）若能打到P點(diǎn)，則粒子速度的最小值為多少？
（2）若能打到P點(diǎn)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的粒子的速度最�。�在各種軌跡中，最小的直徑是AP．再根據(jù)牛頓定律求出最小的速度．
（2）能打到P點(diǎn)，當(dāng)軌跡所對(duì)的圓心角最大時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)．當(dāng)粒子沿y軸正方向射出，恰好打在P點(diǎn)時(shí)，時(shí)間最長(zhǎng)．

解答：解：（1）設(shè)粒子的速度大小為v時(shí)，其在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為R，
    則由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：qBv=m

v2

R

    若粒子以最小的速度到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，其軌跡一定是以AP為直徑的圓（如圖中圓O₁所示）由幾何關(guān)系知：s_AP=

2

l
   R=

sAP

2

=

2

2

l  
  則粒子的最小速度v=

2 qBl

2m

（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期T=

2πm

qB

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)其軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=

θ

2π

T=

θm

qB

   由圖可知，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中圓O₂所示，此時(shí)粒子的初速度方向豎直向上，
   由幾何關(guān)系有：θ=

3

2

π
   則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間：t=

3πm

2qB

答：（1）若能打到P點(diǎn)，則粒子速度的最小值為度v=

2 qBl

2m

． 
   （2）若能打到P點(diǎn)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為間t=

3πm

2qB

．

點(diǎn)評(píng)：電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑．定圓心角，求時(shí)間．