Question

20．如圖所示，兩足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，相距為L(zhǎng)，理想電流表與導(dǎo)軌相連，勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直，質(zhì)量為m、有效電阻為R導(dǎo)體棒在距磁場(chǎng)上邊界h處?kù)o止釋放．導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，流經(jīng)電流表的電流逐漸減小，最終達(dá)到穩(wěn)定值．從導(dǎo)體棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到電流達(dá)到穩(wěn)定值的過(guò)程中，電路中產(chǎn)生的熱量與電流穩(wěn)定時(shí)導(dǎo)體棒的動(dòng)能相等，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好，且始終保持水平，勻強(qiáng)磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度為B，重力加速度為g，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻．求：
（1）電流的穩(wěn)定值；
（2）電流穩(wěn)定后，導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)速度的大��；
（3）電流達(dá)到穩(wěn)定值時(shí)，導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中下落的高度．

Answer 1

分析 （1）由題，導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，最終做勻速運(yùn)動(dòng)，電流達(dá)到穩(wěn)定值I，根據(jù)平衡條件和安培力公式求I；
（2）由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv、感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R}$結(jié)合（1）中結(jié)果，求解v；
（3）導(dǎo)體棒下降到電流穩(wěn)定時(shí)的過(guò)程中，棒的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動(dòng)能和焦耳熱，由能量守恒定理可求得；

解答 解：（1）電流穩(wěn)定后，導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，安培力與重力平衡，則有：BIL=mg…①
解得：I=$\frac{mg}{BL}$…②
（2）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv…③
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}$…④
由②③④式解得：v=$\frac{{I}^{2}R}{mg}$=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）導(dǎo)體棒下降到電流穩(wěn)定時(shí)的過(guò)程中，棒的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動(dòng)能和焦耳熱，
設(shè)導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中下落為H，由能量守恒定理得：$mg（H+h）=Q+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
電路中產(chǎn)生的熱量與電流穩(wěn)定時(shí)導(dǎo)體棒的動(dòng)能相等，
即：mg（H+h）=mv²，
將v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$帶入，解得：H=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}-h$，
答：（1）電流的穩(wěn)定值$\frac{mg}{BL}$；
（2）電流穩(wěn)定后，導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)速度的大小為$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）電流達(dá)到穩(wěn)定值時(shí)，導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中下落的高度為$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}-h$．

點(diǎn)評(píng) 本題分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力等等電磁學(xué)常用的規(guī)律結(jié)合能量守恒定律求解．