Question

一塊足夠長的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序號是1，2，3，…n的物塊，所有物塊的質(zhì)量均為m，與木板間的摩擦因素都相同，開始時，木板靜止不動，第1，2，3，…n號物塊的初速度分別是v，2v，3v，…，nv，方向都向右，木板的質(zhì)量與木塊的總質(zhì)量相等，最終所有的物塊與木板以共同速度勻速運動，設(shè)物塊之間均無相互碰撞，木板足夠長．試求：
（1）所有物塊與木板一起勻速運動的速度v_n
（2）第1號物塊與木板剛好相對靜止時的速度v₁
（3）通過分析和計算說明第k號（k＜n）物塊的最小速度v_k．

Answer 1

【答案】分析：（1）A、B、C三個物體組成的系統(tǒng)，所受合外力為零，系統(tǒng)的動量守恒，根據(jù)動量守恒定律求出最終A、B、C的共同速度．
（2）根據(jù)動量守恒定律和動量定理研究，求出A與C剛相對靜止時B的速度．
（3））第1號物塊到達(dá)速度之后，又會隨木板做加速運動．所以就是第1號物塊的最小速度．同理可得，第k號（k＜n）物塊的最小速度就是它與木板相對靜止的瞬間的速度．
解答：解：（1）根據(jù)動量守恒定律得：mv+2mv+3mv+…+nmv=2nmv_n
解得：  
（2）設(shè)經(jīng)過t時間，第1號物塊與木板剛好相對靜止，共同速度為v₁，根據(jù)動量定理得
   對第一個木塊：-μmgt=m（v₁-v）
   對木板：n?μmgt=nmv₁
聯(lián)立以上二式，解得：；
  （3）第1號物塊到達(dá)速度之后，又會隨木板做加速運動．所以就是第1號物塊的最小速度．同理可得，第k號（k＜n）物塊的最小速度就是它與木板相對靜止的瞬間的速度．
設(shè)經(jīng)過t₂時間，第2號物塊與木板剛好相對靜止，共同速度為v₂，根據(jù)動量定理得
   對第2個木塊：-μmgt₂=mv₂-（2mv-μmgt）
   對木板和第1個木塊：（n-1）μmgt₂=（n+1）m（v₂-v₁）
聯(lián)立以上二式 ；

設(shè)經(jīng)過t₃時間，第3號物塊與木板剛好相對靜止，共同速度為v₃，根據(jù)動量定理得
   對第3個木塊：-μmgt₃=mv₃-（3mv-μmgt-μmgt₂）
   對木板和2個木塊：（n-2）μmgt₃=（n+2）m（v₃-v₂）
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設(shè)經(jīng)過t_k時間，第k號物塊與木板剛好相對靜止，共同速度為v_k，根據(jù)動量定理得
   對第k個木塊：-μmgt_k=mv_k-（kmv-μmgt-μmgt₂…μmgt_k）
   對木板和（k-1）個木塊：[n-（k-1）]μmgt_k=[n+（k-1）]m（v_k-v_k-1）
聯(lián)立以上各式，解得：
答：（1）所有物塊與木板一起勻速運動的速度；
（2）第1號物塊與木板剛好相對靜止時的速度；
（3）通過分析和計算說明第k號（k＜n）物塊的最小速度．
點評：本題的運動過程比較復(fù)雜，研究對象比較多，按程序法進(jìn)行分析，考查解決綜合題的能力．