Question

4．已知地球的半徑為R，地面附近的重力加速度為g，萬有引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，求：
（1）衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的第一宇宙速度v₁的大��；
（2）地球的平均密度ρ．

Answer 1

分析 根據(jù)重力等于萬有引力，引力等于向心力，列式求解．根據(jù)萬有引力提供向心力即可求解．

解答 解：（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力定律，物體在地球表面附近滿足：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$           ①
第一宇宙速度是指衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬有引力，即：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$  ②
聯(lián)立①②解得${v}_{1}=\sqrt{gR}$
（2）將地球看成是半徑為R的均勻球體，其體積為$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$     ③
地球的平均密度$ρ=\frac{M}{V}$         ④
聯(lián)立①③④解得：$ρ=\frac{3g}{4πGR}$
答：（1）衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的第一宇宙速度v₁的大小為$\sqrt{gR}$；
（2）地球的平均密度ρ為$\frac{3g}{4πGR}$．

點(diǎn)評(píng) 衛(wèi)星所受的萬有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是衛(wèi)星類問題必須要考慮的問題，本題根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系即可列式求解！