Question

14．兩個(gè)沿豎直方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)穿過光滑的水平桌面，它們的寬度均為L(zhǎng)．質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的平放在桌面上的正方形線圈的ab邊與磁場(chǎng)邊界ee′平行且兩者間的距離為L(zhǎng)，如圖所示．線圈在恒力作用下由靜止開始沿桌面加速運(yùn)動(dòng)，ab邊進(jìn)入左邊的磁場(chǎng)時(shí)恰好做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)，求：
（1）當(dāng)ab邊剛越過ff′時(shí)線圈的加速度；
（2）當(dāng)ab邊運(yùn)動(dòng)到ff′與gg′之間的正中間位置時(shí)，線圈又恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從ab邊剛越過ee′到達(dá)右邊磁場(chǎng)正中間位置的過程中，線圈共產(chǎn)生多少熱量？

Answer 1

分析 （1）進(jìn)入磁場(chǎng)前，水平恒力做功，根據(jù)動(dòng)能定理列式，得到恒力F與速度v的關(guān)系式；剛進(jìn)入左邊磁場(chǎng)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，恒力與安培力二力平衡，列出平衡方程；剛越過中界線時(shí)，左右兩邊都切割磁感線，兩邊都受安培力，根據(jù)牛頓第二定律和安培力的表達(dá)式，求解加速度．
（2）ab邊剛越過中界線ff′和邊界線gg′的中間位置時(shí)，線框又恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，恒力與安培力再次平衡，列出平衡方程，再根據(jù)能量守恒定律求解熱量．

解答 解：（1）進(jìn)入前，由動(dòng)能定理得：
FL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
剛進(jìn)入左邊磁場(chǎng)時(shí)線框勻速運(yùn)動(dòng)，則有：
F=F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$…②
剛越過中界線ff′時(shí)速度為v，ab、dc兩邊都切割磁感線，兩邊都受安培力，則線框所受的安培力為：
F′_安=2BIL=2B$•\frac{2BLv}{R}$•L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=4F_安=4F
根據(jù)牛頓第二定律得：a=$\frac{F-4F}{m}$=-3a₁=-$\frac{3{v}^{2}}{2L}$，方向水平向左．
（2）從剛進(jìn)入到末位置由能量守恒定律得：
F•$\frac{5}{2}$L=$\frac{1}{2}$mv′²+Q，v′為末位置時(shí)速度，
由受力平衡得：
F=4F_安=4×$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{R}$…③
比較②③得：v=$\frac{1}{4}$v，
聯(lián)立得Q=$\frac{39m{v}^{2}}{32}$．
答：（1）當(dāng)ab邊剛越過中界線2時(shí)，線框的加速度為-$\frac{3{v}^{2}}{2L}$；
（2）線框從開始進(jìn)入邊界線1到ab邊到達(dá)界線2、3中間位置的過程中共產(chǎn)生的熱量為$\frac{39m{v}^{2}}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵是分析和計(jì)算安培力的大小，要注意線框經(jīng)過中界線2時(shí)，左右兩邊都切割磁感線，都產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，兩邊都受安培力，不能死記安培力表達(dá)式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$．