Question

8．如圖甲所示是游樂場中過山車的實(shí)物圖片，可將過山車的一部分運(yùn)動(dòng)簡化為圖乙的模型圖．模型圖中光滑圓形軌道的半徑R=20m，該光滑圓形軌道固定在傾角為θ=37°斜軌道面上的Q點(diǎn)，圓形軌道的最高點(diǎn)A與傾斜軌道上的P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使質(zhì)量m=100kg的小車（視為質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度v₀沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，已知斜軌道面與小車間的動(dòng)摩擦力為μ=$\frac{7}{160}$，取g=10m/
s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan18.5°=$\frac{1}{3}$．若小車恰好能通過圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則：
（1）小車在A點(diǎn)的速度為多大？
（2）小車運(yùn)動(dòng)到圓形軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大�。�
（3）初速度v₀的大��？

Answer 1

分析 （1）小車恰好能通過圓形軌道的最高點(diǎn)A處，軌道對小車的彈力為零，由重力提供小車圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小車在A點(diǎn)的速度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒求出小車最低點(diǎn)的速度，再運(yùn)用牛頓第二定律，通過支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛頓第三定律得到壓力．
（3）對P到A全過程運(yùn)用動(dòng)能定理，重力做功為零，根據(jù)幾何關(guān)系求出在斜面上的位移，通過動(dòng)能定理求出初速度${v}_{0}^{\;}$．

解答 解：（1）由于小車恰能通過A點(diǎn)，由重力提供小車圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×20}$ m/s=10$\sqrt{2}$m/s   ①
（2）如圖，小車經(jīng)軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道壓力最大．設(shè)在最低點(diǎn)軌道對小車的支持力為${F}_{N}^{\;}$
則有：${F}_{N}^{\;}$-mg=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$   ②
小車由D到A的運(yùn)動(dòng)過程機(jī)械能守恒
則有：2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$     ③
由①②③得：${F}_{N}^{\;}=6mg$．
由牛頓第三定律，在D點(diǎn)小車對軌道的壓力${F}_{N}^{′}$=${F}_{N}^{\;}$=6mg=6000N．
（3）設(shè)PQ距離為L，對小車由P到A的過程應(yīng)用動(dòng)能定理
得：-μmgLcos37°=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$④
由幾何關(guān)系：L=$\frac{R+Rcos37°}{sin37°}$=60m⑤
由①④⑤得：${v}_{0}^{\;}=11\sqrt{2}m/s$
答：（1）小車在A點(diǎn)的速度為$10\sqrt{2}$m/s．
（2）小車運(yùn)動(dòng)到圓形軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為6000N．
（3）初速度v₀的大小為$11\sqrt{2}m/s$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了牛頓第二定律和動(dòng)能定理，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)的過程，運(yùn)用合適的規(guī)律進(jìn)行求解．