Question

20．如圖所示，豎直平面內(nèi)固定一半徑為R的粗糙圓環(huán)，A處固定一輕質(zhì)彈簧，彈簧末端栓接一質(zhì)量為m的小球B，小球套在圓環(huán)上．已知彈簧的原長(zhǎng)也為R，勁度系數(shù)為k，將小球從圖示位置由靜止釋放，小球?qū)⒀貓A環(huán)滑動(dòng)并通過(guò)最低點(diǎn)C，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)小球速度為v_c．下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 小球從B點(diǎn)滑到C點(diǎn)過(guò)程中，重力勢(shì)能減少1.2mgR
• B． 小球從B點(diǎn)滑到C點(diǎn)過(guò)程中，克服彈力做功kR²
• C． 小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)的作用力大小為mg+m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$
• D． 小球從B到C的過(guò)程中，小球機(jī)械能減少1.5mgR-$\frac{1}{2}$mv_c²

Answer 1

分析 小球由C到B的過(guò)程，由幾何知識(shí)求出小球下降的高度，即可得到重力勢(shì)能的減小量．求出在C點(diǎn)彈簧的彈性勢(shì)能，即可求解克服彈力做功；小球在最低點(diǎn)C時(shí)，重力、彈簧的彈力和環(huán)對(duì)球的作用力提供向心力，寫(xiě)出方程，可求出環(huán)對(duì)小球的作用大小，從而得到小球?qū)Νh(huán)的作用力大�。�

解答 解：A、小球從B點(diǎn)滑到C點(diǎn)過(guò)程中，下降的高度為 h=Rcos60°+R=1.5R，則重力勢(shì)能減少△E_p=mgh=1.5mgR，故A錯(cuò)誤．
B、在C點(diǎn)時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量 x=R，彈性勢(shì)能為E_p=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$=$\frac{1}{2}k{R}^{2}$
所以小球由B到C的過(guò)程，克服彈力做功為$\frac{1}{2}k{R}^{2}$．故B錯(cuò)誤．
C、小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，有 N+kR-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得N=mg+m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$-kR，則小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)的作用力大小為mg+m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$-kR，故C正確．
D、由機(jī)械能的概念知，小球從B到C的過(guò)程中，小球機(jī)械能減少1.5mgR-$\frac{1}{2}$mv_c²．故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 該題中正確計(jì)算出重力和彈性勢(shì)能是解題的關(guān)鍵．要知道彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式E_p=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$，x是彈簧的形變量大小．