Question

4．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，第二、三象限存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向平行于y軸向上，一個(gè)質(zhì)量為m，電量為q的正粒子以某一沿x正方向的初速度從x軸上M點(diǎn)（-4r，0）處射出，粒子經(jīng)過y軸上N點(diǎn)（0，2r）點(diǎn)進(jìn)入第一象限，第一象限存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\sqrt{\frac{Em}{rq}}$，第四象限存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\sqrt{\frac{Em}{rq}}$，不計(jì)粒子重力，試求：
（1）粒子的初速度v₀．
（2）粒子第一次穿過x軸時(shí)的速度．
（3）畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡并求出粒子第n次穿過x軸時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出粒子的初速度．
（2）應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，然后求出第一次穿過x軸時(shí)的速度．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，然后作出粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求出粒子第n次穿過x軸的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
在x軸方向：4r=v₀t，在y軸方向：2r=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{4qEr}{m}}$；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
在x軸方向：4r=v₀t，在y軸方向：2r=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
解得：v_y=v₀=$\sqrt{\frac{4qEr}{m}}$，tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=1，
速度與y軸正方向間的夾角：θ=45°，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{8qEr}{m}}$，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
洛倫茲力對(duì)粒子不做功，粒子速度大小不變，
粒子第一次穿過x軸時(shí)的速度：v=$\sqrt{\frac{8qEr}{m}}$；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得，粒子軌道半徑：R=2$\sqrt{2}$r，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，與剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度垂直的半徑與y負(fù)方向夾角：
α=180°-θ-90°=180°-45°-90°=45°，
$\frac{ON}{cosα}$=$\frac{2r}{cos45°}$=2$\sqrt{2}$r=R，則圓心在x軸上，粒子垂直x軸射入第四象限，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

粒子第一次穿過x軸后在x軸上方與下方兩個(gè)磁場(chǎng)中分別作半圓周運(yùn)動(dòng)，
粒子第n次穿過x軸時(shí)的坐標(biāo)：x=Rsinα+R+（n-1）•2R
=R[$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1+2（n-1）]=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+4n-2）r  n=1、2、3、…
答：（1）粒子的初速度v₀為$\sqrt{\frac{4qEr}{m}}$．
（2）粒子第一次穿過x軸時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{8qEr}{m}}$．
（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
粒子第n次穿過x軸時(shí)的位置坐標(biāo)為$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+4n-2）r  n=1、2、3…．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析粒子的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律即可正確解題．