Question

（2005?福建模擬）如圖所示，P為位于某一高度處的質量為m的物塊，Q為位于水平地面上的質量為M的特殊平板，

m

M

=

1

8

，平板與地面間的動摩擦因數(shù) μ=0.02．在板的上表面的上方，存在一定厚度的“相互作用區(qū)域”，區(qū)域的上邊界為MN，如圖中劃虛線的部分．當物塊P進入相互作用區(qū)域時，P、Q之間便有相互作用的恒力F=kmg，其中Q對P的作用力豎直向上，且k=41，F(xiàn)對P的作用使P剛好不與Q的上表面接觸．在水平方向上，P、Q之間沒有相互作用力．P剛從離MN高h=20m處由靜止自由落下時，板Q向右運動的速度υ₀=8m/s，板Q足夠長，空氣阻力不計，取g=10m/s．求：
（1）P第一次落到MN邊界的時問t和第一次在相互作用區(qū)域中運動的時間T；
（2）P第2次經(jīng)過MN邊界時板Q的速度υ；
（3）當板Q的速度為零時，P一共回到出發(fā)點幾次？

Answer 1

分析：（1）物塊P在到達MN邊界前做自由落體運動，在相互作用區(qū)域先減速運動，然后反向加速運動，因此根據(jù)運動學規(guī)律可正確求解．
（2）注意當物塊P到達相互作用區(qū)域時，Q對地面的壓力增大，因此摩擦力發(fā)生變化，其運動的加速度也發(fā)生變化，理清其加速度的變化情況，然后根據(jù)運動規(guī)律；
（3）物塊P進入相互作用區(qū)域和離開時加速度不同，而且具有周期性，然后根據(jù)速度與時間的關系求解即可．

解答：解：（1）P自由落下第一次到達邊界MN時h=

1

2

gt2，得t=2s
vp2=2gh
 P到達邊界MN時速度 v_p=

2gh

=

2×10×20

=20m/s
P進入相互作用區(qū)域時，kmg-mg=ma
a=（k-1）g=400m/s²
第一次在相互作用區(qū)域中運動時T=

vp

a

=0.1s
（2）P在相互作用區(qū)域中運動的T末，又越過MN，速度大小又等于v_p，然后做豎直上拋運動回到原出發(fā)點，接著又重復上述運動過程．
每當P從出發(fā)點運動到MN的時間t內，板Q加速度a₁向左，a₁=

μMg

M

=μg=0.2m/s²
每當P在相互作用區(qū)中運動的時間T內，板Q加速度a₂向左，a₂=

μ(kmg+Mg)

M

=1.225m/s²
P第2次經(jīng)過MN邊界時，板Q的速度v=v₀-a₁ t-a₂T
代入數(shù)據(jù)得：v=7.48m/s
（3）設板Q速度為零時，P一共回到出發(fā)點n次，由以上分析可得：
v₀-2na₁t-na₂T=0
代入數(shù)據(jù)，解得n=8.7，故n取8．
答：（1）P第一次落到MN邊界的時問為2s，第一次在相互作用區(qū)域中運動的時間為0.1s； 
（2）P第2次經(jīng)過MN邊界時板Q的速度為7.48m/s；
（3）當板Q的速度為零時，P一共回到出發(fā)點8次．

點評：本題的難點是對Q正確進行受力分析，弄清楚其加速度的變化，從而明確運動規(guī)律，然后根據(jù)運動學規(guī)律或者功能關系求解．