Question

（2013?黃山模擬）如圖所示，在直角坐標(biāo)系的第Ⅰ象限中，OP檔板與y軸之間存在方向豎直向上的大小未知的勻強(qiáng)電場，OP與x軸正方向夾角為45⁰．在第Ⅲ象限存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B₁，有一個電子從y軸負(fù)方向的M點以與y軸正方向成30⁰的初速度v進(jìn)入第Ⅲ象限．已知OM=L，電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，不考慮重力和空氣阻力．求：
（1）為使電子在第Ⅲ象限做勻速直線運動，可在第Ⅲ象限另加入一勻強(qiáng)電場E，求勻強(qiáng)電場E的大小方向
（2）電子從第Ⅲ象限做勻速直線運動進(jìn)入第Ⅱ象限，若第Ⅱ象限也存在一個垂直紙面向里的大小未知的勻強(qiáng)磁場B₂，恰好讓電子垂直打在y軸正方向上的N點（圖中未標(biāo)出）求B₂的大小N點的坐標(biāo)．
（3）電子最終垂直打在OP擋板上的Q點（圖中未畫出）求電子從M點運動到Q點的總時間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)電子所受的電場力與洛倫茲力平衡，則電子做勻速直線運動．根據(jù)平衡求出勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小，結(jié)合左手定則判斷出洛倫茲力方向，從而確定電場強(qiáng)度的方向．
（2）結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在第二象限內(nèi)做圓周運動的半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，結(jié)合幾何關(guān)系求出N點的坐標(biāo)．
（3）電子在第三象限內(nèi)做勻速直線運動，在第二象限內(nèi)做勻速圓周運動，在第一象限內(nèi)做類平拋運動，結(jié)合運動學(xué)公式和在磁場中運動的周期公式，求出電子從M點運動到Q點的總時間．

解答：解：（1）電子受電場力和洛倫茲力平衡，有：eE=evB   ①
解得E=vB．②
電場力的方向與洛倫茲力方向相反，洛倫茲力方向與y軸正方向成60°角，則電場力方向與該方向相反，由于粒子帶負(fù)電，則電場強(qiáng)度的方向與y軸正方向成60°角．
（2）由幾何關(guān)系可知，電子在第二象限內(nèi)做圓周運動的半徑R=

Ltan30°

cos30°

=

2

3

L    ③
由牛頓第二定律得，evB2=m

v2

R

     ④
由③④得：B2=

3mv

2eL

．
再由幾何關(guān)系得，y=R+Rsin30°=L．   ⑤
（3）電子在第三象限內(nèi)運動的時間t1=

L

vcos30°

=

2 3 L

3v

   ⑥
電子在磁場中運動的周期T=

2πm

eB2

．，在第二象限內(nèi)做圓周運動的圓心角為120度．
電子在第二象限內(nèi)運動的時間t2=

T

3

=

2πm

3eB2

=

4πL

9v

   ⑦
設(shè)電子在第一象限內(nèi)運動的時間為t₃，則由平拋運動的知識可知，在Q點時，
v_x=v_y=v   ⑧
L-

vy

2

t3=vt3   ⑨
由⑧⑨可得，t3=

2L

3v

    ⑩
綜合⑥⑦⑩可得，t=(

6 3 +6+4π

9

)

L

v

．
答：（1）勻強(qiáng)電場E的大小E=vB，方向與y軸正方向成60°角．（2）B₂的大小為B2=

3mv

2eL

，N點的縱坐標(biāo)為L．（3）電子從M點運動到Q點的總時間為t=(

6 3 +6+4π

9

)

L

v

．

點評：處理帶電粒子在磁場中運動，關(guān)鍵確定圓心、半徑，從而結(jié)合周期公式和半徑公式進(jìn)行求解，處理帶電粒子在電場中做類平拋運動，關(guān)鍵將運動分解為沿電場方向和垂直電場方向，理清運動規(guī)律，結(jié)合運動學(xué)公式進(jìn)行求解．