Question

經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離．一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來處理．現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測量確定：該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是m兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．
（1）試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T_計算；
（2）若實驗上觀測到的運動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算=1：

N

（N＞1）．為了解釋T_觀測與T_計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質(zhì)．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)．若不考慮其他暗物質(zhì)的影響，請根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對稱性可知，兩顆星都繞系統(tǒng)中心做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物質(zhì)引力和星星引力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解密度．

解答：解：
（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，設(shè)運動的速率為v，得
m

v2

L 2

=

Gm2

L2

①
解得：
v=

Gm 2L

②
則周期為：T計算=

2π L 2

v

=πL

2L Gm

③
（2）根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期：
T觀測=

1

N

T計算＜T計算④
這種差異是由雙星內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量m′，位于中點O處的質(zhì)點的作用相同．考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度v_觀測，則有
 m

v觀測2

L 2

=

Gm2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

⑤
解得：
v觀測=

G(m+4m′) 2L

⑥
因為在周長一定時，周期和速度成反比，由④式得 

1

v觀測

=

1

N

?⑦
把②⑥式代入⑦式得：
 m′=

N-1

4

m
設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，則：

4

3

π(

L

3

)3ρ=

N-1

4

m
解得：
ρ=

3(N-1)m

2πL3

．
答：
（1）該雙星系統(tǒng)的運動周期T_計算=πL

2L Gm

（2）該星系間這種暗物質(zhì)的密度ρ=

3(N-1)m

2πL3

．

點評：本題關(guān)鍵找出向心力來源，然后根據(jù)牛頓第二定律列方程求解，要細心，不難．