Question

【題目】如圖所示，在某豎直平面內(nèi)，圓心為O、半徑R=0.32m固定的半圓光滑軌道CD與足夠長(zhǎng)的光滑水平面BC平滑連接于C點(diǎn)直徑CD垂直于BC，BC左端連接傾角為=37°的傾斜傳送帶AB，傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，速度為v0=4m/s.現(xiàn)將可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊甲從傾斜傳送帶的A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)B點(diǎn)后只保留水平分速度沿水平面運(yùn)動(dòng)，與靜止在C點(diǎn)可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊乙發(fā)生彈性正碰，甲、乙兩物塊的質(zhì)量均為m=1.0×10-2kg，不計(jì)空氣阻力，小物塊甲與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s2。求：

（1）若兩物塊碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，則兩物塊碰后瞬間，乙對(duì)半圓軌道最低點(diǎn)C處的壓力F；

（2）在滿足（1）的條件下，求傳送帶AB的長(zhǎng)度；

（3）若保持乙的質(zhì)量不變，增大甲的質(zhì)量，將甲仍從A點(diǎn)釋放，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍.

Answer 1

【答案】（1）0.6N，方向豎直向下；（2）3.05m；（3）x′＜2.56m

【解析】

（1）設(shè)乙恰好能通過D點(diǎn)時(shí)的速度為vD，則

解得

乙從C到D，根據(jù)機(jī)械能守恒，得

解得

在碰后的C點(diǎn)

解得

F′=6mg

根據(jù)牛頓第三定律得F=F′=6mg=0.6N，方向豎直向下

（2）設(shè)碰撞前后甲的速度分別為v、v甲，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有

mv=mv甲+mvC

聯(lián)立以上兩式解得

v甲=0

甲從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)速度

可見甲在與傳送帶等速前后均做勻加速運(yùn)動(dòng)

甲與傳送帶等速前

甲的加速度

甲的位移

=0.8m

甲與傳送帶等速后，甲的加速度

甲的位移

=2.25m

故傳送帶AB的長(zhǎng)度

L=x1+x2=3.05m

（3）甲仍在A點(diǎn)釋放，運(yùn)動(dòng)到水平面上的速度也仍為v=4m/s

設(shè)甲的質(zhì)量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為vM、vm，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律有

Mv=MvM+mvm

聯(lián)立解得

因?yàn)?/span>M≥m，可得

v≤vm＜2v

設(shè)乙過D點(diǎn)的速度為vD′，由動(dòng)能定理得

聯(lián)立解得

設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為x′，則有

聯(lián)立解得乙在軌道上的首次落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離范圍

2R≤x′＜8R

即

0.64m≤x′＜2.56m