Question

10．如圖所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內(nèi)的兩條光滑軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑為r=0.8m的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D可看作重合．現(xiàn)一有質(zhì)量m=2kg可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從軌道ABC上距C點(diǎn)高為H的地方由靜止釋放（取g=10m/s²）．
（1）若要使小球經(jīng)C處水平進(jìn)入軌道DEF且能沿軌道運(yùn)動(dòng)，H至少要有多高？
（2）若小球靜止釋放處離C點(diǎn)的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點(diǎn)，求h．
（3）若小球自H=0.6m處?kù)o止釋放，求小球到達(dá)F點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大�。�

Answer 1

分析 （1）小球從ABC軌道下滑，機(jī)械能守恒．設(shè)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為υ．小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)D必須滿足mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$，聯(lián)立即可求解H；
（2）小球恰好擊中與圓心等高的E點(diǎn)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出C點(diǎn)速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求h；
（3）先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出到達(dá)F點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式即可求解壓力．

解答 解：（1）小球從ABC軌道下滑，機(jī)械能守恒，設(shè)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為υ．則：
由機(jī)械能守恒定律得
    mgH=$\frac{1}{2}$mv²…①
小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)必須滿足：mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
①、②聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：H≥0.4m
所以H至少要有0.4m高．
（2）若小球恰好擊中與圓心等高的E點(diǎn)，則由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
豎直方向有：r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：r=v_Ct
由機(jī)械能守恒定律有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立解得 h=0.2m
（3）設(shè)小球到達(dá)F點(diǎn)的速度為v_F，則由機(jī)械能守恒定律得：
   mg（H+2r）=$\frac{1}{2}$mv_F²；
在F點(diǎn)有：N-mg=m$\frac{{v}_{F}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得：N=75N
根據(jù)牛頓第三定律得：小球到達(dá)F點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為75N
答：
（1）若要使小球經(jīng)C處水平進(jìn)入軌道DEF且能沿軌道運(yùn)動(dòng)，H至少要有0.4m高．
（2）若小球靜止釋放處離C點(diǎn)的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點(diǎn)，h是0.2m．
（3）若小球自H=0.6m處?kù)o止釋放，小球到達(dá)F點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小是75N．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的題型，要知道小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)必須滿足mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$，若不滿足，則小球做平拋運(yùn)動(dòng)．