Question

如圖所示，真空中兩平行金屬板A、B長(zhǎng)L₁=0.10m，間距d=

3

30

m，兩極板接在電壓U_AB=200sinl00πt（V）的交流電源上，與AB板相距L₂=0.20m的PS右側(cè)區(qū)間有一個(gè)范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=

3

×l0^-2T．一束帶正電的粒子以V_o=

3

×10⁵m/s的速度沿著A，B兩極板的中央飛入電場(chǎng)，粒子的比荷q/m=1×l0⁸C/kg，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，不考慮相對(duì)論效應(yīng)．問(wèn)：
（1）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，帶電粒子經(jīng)過(guò)平行金屬板期間，加在兩板間的電壓幾乎不變；
（2）在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，飛離磁場(chǎng)時(shí)離O點(diǎn)的距離；
（3）何時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，從進(jìn)入電場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)所經(jīng)歷的時(shí)間最長(zhǎng)？并計(jì)算最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在水平方向上勻速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₀，與周期T比較可求證．
（2）在t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子，在電場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，垂直邊界進(jìn)入磁場(chǎng)，知運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周射出，飛離磁場(chǎng)時(shí)離O點(diǎn)的距離為2R．
（3）要使粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，則粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角應(yīng)最大；由幾何關(guān)系可知，當(dāng)粒子的軌跡與PQ相切時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)．

解答：解：（1）粒子飛越電場(chǎng)的時(shí)間t₀=

L1

v0

代入數(shù)據(jù)求得t₀=(

3

3

)×10-6s，
周期T=0.02s
由此得到：粒子飛越電場(chǎng)的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于交變電壓變化的時(shí)間，即粒子飛越的時(shí)間里板間電壓幾乎不變．
（2）在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，飛離磁場(chǎng)時(shí)離O點(diǎn)的距離；
（2）當(dāng)t=0時(shí)，U_AB=0，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，洛倫茲力提供向心力，
即qv₀B=

m v 2 0

R

，
得：R=

mv0

qB

=

3 ×105

108× 3 ×10-2

=0.1m
飛離磁場(chǎng)時(shí)與O點(diǎn)的距離h=2R=0.2m
（3）設(shè)AB間電壓為U₀時(shí)，粒子從板邊緣飛出，側(cè)移量為

d

2

            

d

2

=

qU0 L 2 1

2md v 2 0

，
所以：U₀=

md2 v 2 0

qL21

解得：U₀=100V＜200V
說(shuō)明從進(jìn)入電場(chǎng)到出磁場(chǎng)的時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，就是電壓為100V時(shí)從B板邊緣飛出的粒子
將U₀代入U(xiǎn)_AB=200sinl00πt（V）
得t=（

1

6

+2n）×10^-2s       n=0、1、2…
粒子在進(jìn)入磁場(chǎng)前的飛行時(shí)間t₁=

L1+L2

v0

，代入數(shù)據(jù)解得t₁=

3

×10^-6s
離開(kāi)電場(chǎng)是速度偏角tanθ=

vy

vx

=

at1

v0

=

qU0

md

?

L1

v0

?

l

v0

=

d

L1

，代入數(shù)據(jù)得tanθ=

3

3

，所以θ=30°
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

，飛行時(shí)間t₂=

240°

360°

T=

4πm

3qB

總時(shí)間t=t₁+t₂，代入t₁、t₂得t=

3

(1+

4π

9

)×10-6s
答：（1）答案如上所述；
（2）在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，飛離磁場(chǎng)時(shí)離O點(diǎn)的距離；
（3）電壓為100V時(shí)從B板邊緣飛出的粒子是從進(jìn)入電場(chǎng)到出磁場(chǎng)的時(shí)間最長(zhǎng)的粒子
  最長(zhǎng)時(shí)間

3

(1+

4π

9

)×10-6．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律和動(dòng)能定理進(jìn)行求解．