Question

如圖14所示，一質(zhì)量不計(jì)的輕質(zhì)彈簧的上端與盒子A連接在一起，盒子A放在傾角為θ=30⁰的光滑固定斜面上,下端固定在斜面上.盒子內(nèi)裝一個(gè)光滑小球，盒子內(nèi)腔為正方體，一直徑略小于此正方形邊長(zhǎng)的金屬圓球B恰好能放在盒內(nèi)，已知彈簧勁度系數(shù)為k=100N/m，盒子A和金屬圓球B質(zhì)量均為1kg.，將A沿斜面向上提起，使彈簧從自然長(zhǎng)度伸長(zhǎng)10cm，從靜止釋放盒子A，A和B一起在斜面上做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，g取10m/s²，求：
（1）盒子A的振幅.
（2）金屬圓球B的最大速度.
（3）盒子運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)，盒子A對(duì)金屬圓球B的作用力大小

Answer 1

(1) 20cm（2）（3）5N

解：(1) 振子在平衡位置時(shí)，所受合力為零，
設(shè)此時(shí)彈簧被壓縮Δx
 ……1′    
／=10cm……1′
釋 放 時(shí)振子處在最大位移處，故振幅A為： A=10cm+10cm=20cm……2′
(2)由于開始時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量恰等于振子在平衡位置時(shí)彈簧的壓縮量，
故彈簧勢(shì)能相等，設(shè)振子的最大速率為v，
從開始到平衡位置，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：
  ……2′  
……2′
(3)在最低點(diǎn)，振子受到的重力分力和彈力方向相反，根據(jù)牛頓第二定律:
……1′
A對(duì)B的作用力方向向上，其大小為：==15N……2′
在最高點(diǎn)振子受到的重力分力和彈力方向相同，根據(jù)牛頓第二定律：
……1′   (或由對(duì)稱性可得)
A對(duì)B的作用力方向向下，其大小為：==5N……2′
本題考查簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，要求振子的最大振幅，即釋放振子的位置就是最大振幅位置，關(guān)鍵是求出釋放位置距離平衡位置的距離，由于在平衡位置回復(fù)力等于零即重力的下滑力等于彈簧的彈力，列等式可求出平衡位置時(shí)彈簧的壓縮程度，即可求出振幅，整個(gè)過(guò)程中，重力和彈簧彈力做功，所以機(jī)械能守恒，要求最大速度，即在平衡位置時(shí)的速度，由于開始時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量恰等于振子在平衡位置時(shí)彈簧的壓縮量，故彈簧勢(shì)能相等，可根據(jù)機(jī)械能守恒，列出等式求解，在最低點(diǎn)，振子受到的重力分力和彈力方向相反，在最高點(diǎn)振子受到的重力分力和彈力方向相同。根據(jù)牛頓第二定律可解。