Question

4．單匝正方形線圈abcd的一半放在具有理想邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，線圈邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，電阻為R，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，線圈軸線OO′與磁場(chǎng)邊界重合．
（1）若線圈ab邊受到向左的力，以速度v勻速向左運(yùn)動(dòng)，從初始位置一直到線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，外力所做的功為多少？
（1）若線圈以角速度ω繞軸線OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（ab邊向紙外，cd邊向紙內(nèi)），在線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，線圈上產(chǎn)生的焦耳熱為多少？
（2）若線圈以角速度ω繞軸線OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（ab邊向紙外，cd邊向紙內(nèi)），在線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算寫(xiě)出cd兩端電勢(shì)差U_cd隨時(shí)間的表達(dá)式并作出Ucd隨時(shí)間的表達(dá)式并作出U_cd隨時(shí)間變化的示意圖．

Answer 1

分析 （1）線圈向右勻速運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，外力做功等于克服安培力做功
（2）當(dāng)線圈與磁場(chǎng)平行時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，由公式E_m=BSω求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值．圖中是中性面，線框在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生正弦式交變電流，根據(jù)e=E_msinωt可列出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式．

解答 解：（1）產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv，受到的安培力為：F=BIL$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
外力做功等于克服安培力所做的功為：W=F$\frac{L}{2}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{2R}$
（1）當(dāng)線圈與磁場(chǎng)平行時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，最大值為：E_m=BSω=$B\frac{1}{2}{L}^{2}ω$，
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值為E=$\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}$，感應(yīng)電流有效值為I=$\frac{E}{R+r}$，R產(chǎn)生的熱量為：Q=I²RT，T=$\frac{2π}{ω}$，
聯(lián)立得：Q=$\frac{π{B}^{2}ω{L}^{4}R}{4（R+r）^{2}}$．
（2）當(dāng)ab在磁場(chǎng)中時(shí)，cd兩端的電壓大小為：U_cd=$\frac{{E}_{m}}{4}$=$\frac{1}{8}$BL²ωsinωt；
d點(diǎn)的電勢(shì)高于c點(diǎn)；故表達(dá)式為：U_cd=-$\frac{1}{8}$BL²ωsinωt
當(dāng)cd在磁場(chǎng)中時(shí)，cd端的電壓為電源的路端電壓為：U_cd=$\frac{3}{4}{E}_{m}$sinωt=$\frac{3}{8}$BL²ωsinωt；d點(diǎn)電勢(shì)高于點(diǎn)；
對(duì)應(yīng)的圖象如圖所示：
答：（1）外力所做的功為$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{2R}$
（1）一周內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{π{B}^{2}ω{L}^{4}R}{4（R+r）^{2}}$．
（2）如圖所示；

點(diǎn)評(píng) 本題考查交流電的產(chǎn)生，要注意正確掌握交流電的表達(dá)式及圖象應(yīng)用，本題中第二問(wèn)要注意明確cd作為電源和作為用電器的不同之處！