Question

如圖所示，在傾角θ=30°的斜面上放置一段凹槽B，B與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

3

6

，槽內(nèi)靠近右側(cè)壁處有一小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)），它到凹槽左側(cè)壁的距離d=0.10m．A、B的質(zhì)量都為m=2.0kg，B與斜面間的最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，不計(jì)A、B之間的摩擦，斜面足夠長(zhǎng)．現(xiàn)同時(shí)由靜止釋放A、B，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，A與B的側(cè)壁發(fā)生碰撞，碰撞過(guò)程不計(jì)機(jī)械能損失，碰撞時(shí)間極短．取g=10m/s²．求：
（1）物塊A和凹槽B的加速度分別是多大；
（2）物塊A與凹槽B的左側(cè)壁第一次碰撞后瞬間A、B的速度大小；
（3）從初始位置到物塊A與凹槽B的左側(cè)壁發(fā)生第三次碰撞時(shí)B的位移大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)受力分析和牛頓第二定律求解．
（2）由靜止釋放A、B，A在凹槽內(nèi)，B受到的滑動(dòng)摩擦力f=μ?2mgcosθ，B所受重力沿斜面的分力G₁=mgsinθ，由計(jì)算得到f=G₁，說(shuō)明B仍保持靜止，A做勻加速運(yùn)動(dòng)，牛頓定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出A與B碰撞前的速度大小．A與B的側(cè)壁發(fā)生碰撞，碰撞過(guò)程不損失機(jī)械能，碰撞時(shí)間極短，動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，可求出A與B的左側(cè)壁第一次發(fā)生碰撞后瞬間A、B的速度．
（3）A、B第一次碰撞后，B做勻速運(yùn)動(dòng)，A做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度不變，當(dāng)A的速度與B相等，A與B的左側(cè)壁距離達(dá)到最大．由位移公式和速度求出位移．

解答：解：（1）設(shè)A的加速度為a₁，則
mg sinθ=ma₁，a₁=g sinθ=10×sin 30°=5.0m/s²
設(shè)B受到斜面施加的滑動(dòng)摩擦力f，則f=μ?2mgcosθ=

3

6

×2.0×10×cos30°=10N，方向沿斜面向上
B所受重力沿斜面的分力G₁=mgsinθ=2.0×10×sin30°=10N，方向沿斜面向下
因?yàn)镚₁=f，所以B受力平衡，釋放后B保持靜止，則
凹槽B的加速度a₂=0
（2）釋放A后，A做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊A運(yùn)動(dòng)到凹槽B的左內(nèi)側(cè)壁時(shí)的速度為v_A0，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律得

v

2 A0

=2a1d
v_A0=

2a1d

=

2×5.0×0.10

=1.0m/s 
因A、B發(fā)生彈性碰撞時(shí)間極短，沿斜面方向動(dòng)量守恒，A和B碰撞前后動(dòng)能守恒，設(shè)A與B碰撞后A的速度為v_A1，B的速度為v_B1，根據(jù)題意有mv_A0=mv_A1+mv_B1

1

2

m

v

2 A0

=

1

2

m

v

2 A1

+

1

2

m

v

2 B1

解得第一次發(fā)生碰撞后瞬間A、B的速度分別為
v_A1=0，v_B1=1.0 m/s  
（3）A、B第一次碰撞后，B以v_B1=1.0 m/s做勻速運(yùn)動(dòng)，A做初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁，A的速度v_A2與B的速度相等，A與B的左側(cè)壁距離達(dá)到最大，即
v_A2=a₁t₁=v_B1，解得t₁=0.20s
設(shè)t₁時(shí)間內(nèi)A下滑的距離為x₁，則x1=

1

2

a1t12
解得x₁=0.10m
因?yàn)閤₁=d，說(shuō)明A恰好運(yùn)動(dòng)到B的右側(cè)壁，而且速度相等，所以A與B的右側(cè)壁恰好接觸但沒有發(fā)生碰撞．
設(shè)A與B第一次碰后到第二次碰時(shí)所用時(shí)間為t₂，A運(yùn)動(dòng)的距離為x_A1，B運(yùn)動(dòng)的距離為x_B1，A的速度為v_A3，則
x_A1=

1

2

a1

t

2 2

，x_B1=v_B1t₂，x_A1=x_B1
解得t₂=0.40s，x_B1=0.40m，v_A3=a₁t₂=2.0m/s 
第二次碰撞后，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律可解得A、B再次發(fā)生速度交換，B以v_A3=2.0m/s速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，A以v_B1=1.0m/s的初速度做勻加速運(yùn)動(dòng)．
用前面第一次碰撞到第二次碰撞的分析方法可知，在后續(xù)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物塊A不會(huì)與凹槽B的右側(cè)壁碰撞，
并且A與B第二次碰撞后，也再經(jīng)過(guò)t₃=0.40s，A與B發(fā)生第三次碰撞．
設(shè)A與B在第二次碰后到第三次碰時(shí)B運(yùn)動(dòng)的位移為x_B2，則
x_B2=v_A3t₃=2.0×0.40=0.80m；
設(shè)從初始位置到物塊A與凹槽B的左內(nèi)側(cè)壁發(fā)生第三次碰撞時(shí)B的位移大小x，則
x=x_B1+x_B2=0.40+0.80=1.2m  
答：（1）物塊A和凹槽B的加速度分別是5.0m/s²和0；
（2）物塊A與凹槽B的左側(cè)壁第一次碰撞后瞬間A、B的速度大小分別是v_A1=0，v_B1=1.0 m/s；
（3）從初始位置到物塊A與凹槽B的左側(cè)壁發(fā)生第三次碰撞時(shí)B的位移大小是1.2m．

點(diǎn)評(píng)：本題是復(fù)雜的力學(xué)綜合題，分析運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律是關(guān)鍵．對(duì)于A、B的碰撞過(guò)程，屬于彈性碰撞過(guò)程，兩者質(zhì)量相等，交換速度．