Question

（2008?徐州三模）如圖所示，在傾角θ=30°、足夠長(zhǎng)的斜面上分別固定著兩個(gè)物體A．B，相距L=0.2m，它們的質(zhì)量m_A=m_B=1kg，與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μA=

3

6

和μB=

3

3

．在t=0時(shí)刻同時(shí)撤去固定兩物體的外力后，A物體將沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，并與B物體發(fā)生連續(xù)碰撞（碰撞時(shí)間極短，忽略不計(jì)），每次碰后兩物體交換速度．g取10m/s²．求：
（1）A與B第一次碰后瞬時(shí)B的速率？
（2）從A開始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？
（3）至第n次碰撞時(shí)A、B兩物體通過的路程分別是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律分別求出A、B的加速度，得出A、B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，物體B恰好靜止于斜面上，物體A將沿斜面向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)． 結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出碰撞前的速度，從而得出碰后瞬間B的速率．
（2）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出第一次碰撞所需的時(shí)間，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，抓住碰后A做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，B做勻速直線運(yùn)動(dòng)求出第二次碰撞所需的時(shí)間，從而得出從A開始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰經(jīng)歷的時(shí)間．
（3）從第2次碰撞開始，每次A物體運(yùn)動(dòng)到與B物體碰撞時(shí)，速度增加量均為△v=at₂=2.5×0.8m/s=2m/s，抓住碰后速度交換，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出至第n次碰撞時(shí)A、B兩物體通過的路程．

解答：解：（1）A物體沿斜面下滑時(shí)有m_Agsinθ-μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A
∴a_A=gsinθ-μ_Am_Agcosθ
aA=gsin300-

3

6

gcos300=2.5m/s²　　　　　
B物體沿斜面下滑時(shí)有m_Bgsinθ-μ_Bm_Bgcosθ=m_Ba_B
∴a_B=gsinθ-μ_Bm_Bgcosθ
aB=gsin300-

3

3

gcos300=0
綜上分析可知，撤去固定A、B的外力后，物體B恰好靜止于斜面上，物體A將沿斜面向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．                             
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得A與B第一次碰撞前的速度vA1=

2aL

=

2×2.5×0.2

=1m/s
由于AB碰撞后交換速度，故AB第一次碰后瞬時(shí)，B的速率v'_B1=v_A1=1m/s
（2）從AB開始運(yùn)動(dòng)到第一次碰撞用時(shí)t1=

2L a

=

2×0.2 2.5

=0.4s
兩物體相碰后，A物體的速度變?yōu)榱悖�以后再做勻加速運(yùn)動(dòng)，而B物體將以v_B2=v'_B1=1m/s的速度沿斜面向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)．              
設(shè)再經(jīng)t₂時(shí)間相碰，則有v′B1t2=

1

2

a

t

2 2

解之可得t₂=0.8s               　　　　　　
故從A開始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰，共經(jīng)歷時(shí)間t=t₁+t₂=0.4+0.8=1.2s  
（3）從第2次碰撞開始，每次A物體運(yùn)動(dòng)到與B物體碰撞時(shí)，速度增加量均為△v=at₂=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交換，因而碰后B物體的速度為：
第一次碰后：v_B1=1m/s
第二次碰后：v_B2=2m/s
第三次碰后：v_B3=3m/s
…
第n次碰后：v_Bn=nm/s
每段時(shí)間內(nèi)，B物體都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則第n次碰前所運(yùn)動(dòng)的距離為
s_B=[1+2+3+…+（n-1）]×t₂=

2n(n-1)

5

m   （n=1，2，3，…，n-1）
A物體比B物體多運(yùn)動(dòng)L長(zhǎng)度，則
s_A=L+s_B=[0.2+

2n(n-1)

5

]m　　　　
答：（1）A與B第一次碰后瞬時(shí)B的速率為1m/s．
（2）從A開始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰經(jīng)歷了1.2s．
（3）至第n次碰撞時(shí)A、B兩物體通過的路程分別是[0.2+

2n(n-1)

5

]m、

2n(n-1)

5

m，（n=1，2，3，…，n-1）．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清A、B碰撞前后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．