Question

3．如圖所示，光滑水平軌道與右側(cè)豎直放置的半徑為R的半圓軌道平滑連接，3個大小相同、質(zhì)量不等的小球a、b、c．質(zhì)量依次是3m、2m、m，b、c小球靜止在水平軌道上，球a以初速度v₀向右運動與球b碰撞，球b再與球c碰撞，所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰．求：
①a球與b球碰撞后，b球的速度大小v₁；
②若要使c球碰撞后能過右側(cè)軌道的最高點，半徑R應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 ①ab球碰撞過程中，動量守恒，機(jī)械能守恒，以a球初速度方向為正，根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式求解；
②bc球碰撞過程中，動量守恒，機(jī)械能守恒，以b球初速度方向為正，根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求解碰撞后c的速度，當(dāng)c球到達(dá)右側(cè)最高點的速度為$v=\sqrt{gR}$時，恰好到達(dá)最高點，此過程中，根據(jù)動能定理求解最小半徑．

解答 解：①ab球碰撞過程中，動量守恒，機(jī)械能守恒，以a球初速度方向為正，根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得：
3mv₀=3mv₂+2mv₁，
$\frac{1}{2}×3m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}×3m{{v}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}×2m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：v₁=$\frac{6}{5}{v}_{0}$，
②bc球碰撞過程中，動量守恒，機(jī)械能守恒，以b球初速度方向為正，根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得：
2mv₁=2mv₃+mv₄，
$\frac{1}{2}×2m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×2m{{v}_{3}}^{2}+\frac{1}{2}×m{{v}_{4}}^{2}$，
解得：v₄=$\frac{8}{5}{v}_{0}$，
當(dāng)c球到達(dá)右側(cè)最高點的速度為$v=\sqrt{gR}$時，恰好到達(dá)最高點，此過程中，根據(jù)動能定理有：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{4}}^{2}=-mg•2R$
解得：R=$\frac{64{{v}_{0}}^{2}}{125g}$
當(dāng)R≤$\frac{64{{v}_{0}}^{2}}{125g}$時，c球碰撞后能過右側(cè)軌道的最高點．
答：①a球與b球碰撞后，b球的速度大小v₁為$\frac{6}{5}{v}_{0}$；
②若要使c球碰撞后能過右側(cè)軌道的最高點，半徑R應(yīng)滿足什么條件R≤$\frac{64{{v}_{0}}^{2}}{125g}$．

點評 本題主要考查了動量守恒定律以及機(jī)械能守恒定律的直接應(yīng)用，解題時要先規(guī)定正方向，知道c球到達(dá)最高點時的臨界條件，難度適中．