Question

7．“火衛(wèi)一”（Phobos）呈土豆形狀，圍繞火星運(yùn)行的周圍為T，距火星中心的距離為r，它是火星兩顆衛(wèi)星中較大的、也是離火星較近的一顆．“火衛(wèi)一”與火星間的距離也是太陽(yáng)系中所有的衛(wèi)星與其主星距離最短的，它也是太陽(yáng)系中最小的衛(wèi)星之一，已知引力常量G，將“火衛(wèi)一”繞火星的軌道視為圓．求：
（1）火星的質(zhì)量M．
（2）已知“火衛(wèi)一”與火星表面的距離為h，求火星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，化簡(jiǎn)可得火星的質(zhì)量M．“火衛(wèi)一”與火星表面的距離為h，則此時(shí)的軌道半徑為r-h，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm′}{（{r-h）}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{r-h}$，代入火星的質(zhì)量M，化簡(jiǎn)可得火星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）“火衛(wèi)一”在火星萬(wàn)有引力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）在火星表面附近，衛(wèi)星在萬(wàn)有引力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)：
$G\frac{Mm′}{（{r-h）}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{r-h}$
代入質(zhì)量M，解得：v=$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{r-h}}$
答：（1）火星的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）火星的第一宇宙速度為$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{r-h}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要掌握萬(wàn)有引力提供向心力，能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．