Question

6．如圖甲所示，空間內(nèi)有垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN是磁場(chǎng)的上邊界，磁場(chǎng)寬度足夠大，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=1×10^-4T，現(xiàn)有一比荷為$\frac{q}{m}$=2×10¹¹C/kg的正離子以某一速度從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)，已知P點(diǎn)到邊界MN的垂直距離d=20cm，不計(jì)離子的重力．求：
（1）若要使離子不從MN邊界射出磁場(chǎng)，求離子從P點(diǎn)水平向右射入的最大速度v_m；
（2）若離子以速度v=4×10⁶m/s在紙面內(nèi)從P點(diǎn)沿某一方向射入磁場(chǎng)時(shí)，該離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，求此時(shí)離子射出時(shí)的速度與邊界MN的夾角；
（3）若離子射入的速度滿足第（1）問的條件，同時(shí)在該磁場(chǎng)區(qū)域再加一個(gè)如圖乙所示的變化磁場(chǎng)（正方向與B₀方向相同，不考慮磁場(chǎng)變化所產(chǎn)生的電場(chǎng)），求該離子0時(shí)刻從P點(diǎn)射入到第二次回到P點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑可由幾何關(guān)系求得，洛侖茲力提供向心力，根據(jù)向心力公式即可求得速度；
（2）由牛頓第二定律求出離子的軌道半徑，然后求出速度方向與MN的夾角．
（3）先算出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)第一次遇到外加磁場(chǎng)的過程中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，由幾何關(guān)系求出此時(shí)施加附加磁場(chǎng)時(shí)離子在磁場(chǎng)中能做的圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑，根據(jù)向心力公式求出離子在有附加磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)半徑，判斷粒子是否能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)照外加磁場(chǎng)的規(guī)律求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，最后求得總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子剛好不從邊界射出時(shí)的最大半徑：r₁=$\frac71rubpr{2}$，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv_mB₀=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{{r}_{1}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_m=2×10⁶m/s；
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r₂=$\frac{mv}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：r₂=0.2m，
設(shè)時(shí)間最短時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心角為α，則：sin$\frac{α}{2}$=$\frac{\frac6fcqwc7{2}}{{r}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
則得：α=60°或α=120°；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：T₁=π×10^-7s，
施加附加磁場(chǎng)后，粒子在復(fù)合場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與周期都變小，
周期：T₂=$\frac{2πm}{q（{B}_{0}+B）}$，
代入數(shù)據(jù)解得：T₂=$\frac{π}{6}$×10^-7s，
即離子剛好能運(yùn)動(dòng)一個(gè)完整的圓周，接下來在B₀磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，
粒子在沒有附加磁場(chǎng)的大圓每段軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角：θ=$\frac{\frac{π}{6}×1{0}^{-7}}{π×1{0}^{-7}}$×2π=$\frac{π}{3}$，
由外加磁場(chǎng)規(guī)律可知，每隔$\frac{π}{6}$×10^-7s離子在周期性外加磁場(chǎng)
時(shí)做半徑更小的圓周運(yùn)動(dòng)，離子可做完6次完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
最后離子經(jīng)過P點(diǎn)，離子從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)到第二次回到P點(diǎn)的時(shí)間：t=T₁+6T₂=2π×10^-7s．
答：（1）若要使離子不從MN邊界射出磁場(chǎng)，求離子從P點(diǎn)水平向右射入的最大速度v_m為2×10⁶m/s；
（2）若離子以速度v=4×10⁶m/s在紙面內(nèi)從P點(diǎn)沿某一方向射入磁場(chǎng)時(shí)，該離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，此時(shí)離子射出時(shí)的速度與邊界MN的夾角為60°或120°；
（3）該離子0時(shí)刻從P點(diǎn)射入到第二次回到P點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t為2π×10^-7s．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．要求同學(xué)們能正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系求得軌道半徑，能用向心力公式和周期公式解題，難度較大，屬于難題．