Question

19．如圖所示，質(zhì)量為m的豎直光滑圓環(huán)A的半徑為r，豎直固定在質(zhì)量為m的木板B上，木板B的兩側(cè)各有一豎直擋板固定在地面上，使木板不能左右運(yùn)動(dòng)．在環(huán)的最低點(diǎn)靜置一質(zhì)量為m的小球C．現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v₀，小球會(huì)在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)．為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使木板離開地面，則初速度v₀必須滿足（　　）

• A． $\sqrt{3gr}$≤v₀≤$\sqrt{5gr}$
• B． $\sqrt{gr}$≤v₀≤$\sqrt{3gr}$
• C． $\sqrt{7gr}$≤v₀≤3$\sqrt{gr}$
• D． $\sqrt{5gr}$≤v₀≤$\sqrt{7gr}$

Answer 1

分析 小球在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過最高點(diǎn)速度最小時(shí)，軌道對(duì)球的最小彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點(diǎn)的最小速度；為了不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道的彈力不能大于2mg，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最大速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在最低點(diǎn)的速度范圍．

解答 解：在最高點(diǎn)，速度最小時(shí)有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，解得：v₁=$\sqrt{gr}$．
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)最低點(diǎn)的速度為v₁′，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
 2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv₁′²
解得：v₁′=$\sqrt{5gr}$．
要使不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，環(huán)對(duì)球的壓力最大為：
 F=2mg
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)此時(shí)最低點(diǎn)的速度為v₂′，
在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)有：mg+2mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：2mgr+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²
解得：v₂′=$\sqrt{7gr}$．
所以為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使木板離開地面，在最低點(diǎn)的初速度范圍為：$\sqrt{5gr}$≤v≤$\sqrt{7gr}$．故D正確，ABC錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵理清在最高點(diǎn)的兩個(gè)臨界情況，求出在最高點(diǎn)的最大速度和最小速度．