Question

11．如圖所示，粗糙的水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)其右端位于桌面右邊緣D點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m=1.0kg的物塊將彈簧壓縮到B點(diǎn)后由靜止釋放，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰從桌面右邊緣D點(diǎn)飛離桌面后，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道．物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，BD間距離L=0.8m，g取10m/s²，求：
（1）物塊離開(kāi)D點(diǎn)時(shí)的速度v_D；
（2）DP間的水平距離；
（3）彈簧在B點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢(shì)能；
（4）分析判斷物塊能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）物塊離開(kāi)D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道，知道了到達(dá)P點(diǎn)的速度方向，將P點(diǎn)的速度分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)求出豎直分速度，再根據(jù)角度關(guān)系求出水平分速度，即離開(kāi)D點(diǎn)時(shí)的速度v_D．
（2）根據(jù)豎直方向的運(yùn)動(dòng)求出運(yùn)行時(shí)間，分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，再根據(jù)水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)求出DP間的水平距離．
（3）物塊從B點(diǎn)到D點(diǎn)，彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能，根據(jù)能量守恒定律求出彈簧在B點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢(shì)能．
（4）物塊在內(nèi)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)有臨界速度，有$mg=\frac{{mv}_{m}^{2}}{R}$，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求出M點(diǎn)的速度，與臨界速度進(jìn)行比較，判斷其能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．

解答 解：（1）由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道，知速度與水平方向的夾角為45°．
物塊在P點(diǎn)豎直方向上的分速度為v_yp，有v_yp²=2gR，
代入數(shù)據(jù)得：v_yp=4m/s．
tan45°=$\frac{{v}_{yp}}{{v}_{x}}$=1，
得：v_D=v_x=4m/s．
故物塊離開(kāi)D點(diǎn)的速度為4m/s．
（2）平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{{v}_{yp}}{g}$=0.4s
所以DP間的水平距離x=v_Dt=4×0.4m=1.6m．
（3）根據(jù)能量守恒得：
${E}_{P}=\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}+μmgL=12J$
故彈簧在B點(diǎn)具有的彈性勢(shì)能為8J．
（4）設(shè)物塊到達(dá)M點(diǎn)的臨界速度為v_m，有：$mg=\frac{{mv}_{m}^{2}}{R}$．
所以${v}_{m}=\sqrt{gR}$=2$\sqrt{2}m/s$
到達(dá)P點(diǎn)的速度${v}_{P}=4\sqrt{2}m/s$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，規(guī)定N點(diǎn)為0勢(shì)能面，有$\frac{1}{2}{mv}_{P}^{2}+mgR（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）=\frac{1}{2}{mv}_{m}^{′2}+mg•2R$
代入數(shù)據(jù)得，$v{′}_{m}=\sqrt{16-8\sqrt{2}}m/s＜2\sqrt{2}m/s$．
所以物塊不能到達(dá)圓軌道的M點(diǎn)．
答：（1）物塊離開(kāi)D點(diǎn)時(shí)的速度v_D4m/s
（2）DP間的水平距離為1.6m；
（3）彈簧在B點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢(shì)能為8J；
（4）物塊不能沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)

點(diǎn)評(píng) 該題是平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題，該題中要熟練掌握機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題．