Question

【題目】如圖所示，一質(zhì)量為m=1kg的小球從A點(diǎn)沿光滑斜面軌道由靜止滑下，不計(jì)通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的能量損失，然后依次滑入兩個(gè)相同的圓形軌道內(nèi)側(cè)，其軌道半徑R=10cm，小球恰能通過(guò)第二個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)，小球離開(kāi)圓形軌道后可繼續(xù)向E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)右側(cè)有一壕溝，E、F兩點(diǎn)的豎直高度d=0.8m，水平距離x=1.2m，水平軌道CD長(zhǎng)為L(zhǎng)1=1m，DE長(zhǎng)為L(zhǎng)2=3m。軌道除CD和DE部分粗糙外，其余均光滑，小球與CD和DE間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，重力加速度g=10m/s2。求：

⑴小球通過(guò)第二個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度；

⑵小球通過(guò)第一個(gè)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；

⑶若小球既能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，又不掉進(jìn)壕溝，求小球從A點(diǎn)釋放時(shí)的高度的范圍是多少？

Answer 1

【答案】⑴1m/s⑵40N⑶0.45m≤h≤0.8m或h≥1.25m

【解析】⑴小球恰能通過(guò)第二個(gè)圓形軌道最高點(diǎn)，有：

求得：υ2==1m/s ①

⑵在小球從第一軌道最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第二圓軌道最高點(diǎn)過(guò)程中，應(yīng)用動(dòng)能定理有：

μmgL1=mv22mv12 ②

求得：υ1==m/s

在最高點(diǎn)時(shí)，合力提供向心力，即FN+mg= ③

求得：FN = m(g)= 40N

根據(jù)牛頓第三定律知，小球?qū)�軌道的壓力為：FN′=FN=40N ④

⑵若小球恰好通過(guò)第二軌道最高點(diǎn)，小球從斜面上釋放的高度為h1，在這一過(guò)程中應(yīng)用動(dòng)能定理有：mgh1 μmgL1 mg 2R = mv22 ⑤

求得：h1=2R+μL1+=0.45m

若小球恰好能運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，小球從斜面上釋放的高度為h1，在這一過(guò)程中應(yīng)用動(dòng)能定理有：

mgh2μmg(L1+L2)=00 ⑥

求得： h2=μ(L1+L2)=0.8m

使小球停在BC段，應(yīng)有h1≤h≤h2，即：0.45m≤h≤0.8m

若小球能通過(guò)E點(diǎn)，并恰好越過(guò)壕溝時(shí)，則有

d =gt2 →t == 0.4s ⑦

x=vEt →υE==3m/s ⑧

設(shè)小球釋放高度為h3，從釋放到運(yùn)動(dòng)E點(diǎn)過(guò)程中應(yīng)用動(dòng)能定理有：

mgh3 μmg(L1+L2)= 0 ⑨

求得：h3=μ(L1+L2)+ =1.25m

即小球要越過(guò)壕溝釋放的高度應(yīng)滿足：h≥1.25m

綜上可知，釋放小球的高度應(yīng)滿足：0.45m≤h≤0.8m或 h≥1.25m ⑩