Question

4．長度為L=0.5m的不可伸長的輕質細線OA，O端固定，A端連有一個質量m=3.0kg的小球（質點），如圖，小球以O點為圓心在豎直平面內作完整的圓周運動，小球過最高點時的速率為4m/s，不計空氣阻力，M點是圓周的最低點，N點是圓周上的一點，θ=37°（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）小球在最低點M時，速度的大小是多少？
（2）小球過M點時，受到細線的拉力是多少？
（3）小球過N點時，重力的瞬時功率是多少？

Answer 1

分析 （1）小球從最高點向最低點運動的過程中，細線的拉力不做功，機械能守恒，由機械能守恒定律求解．
（2）在M點，由重力和細線拉力的合力充當向心力，由牛頓第二定律求細線的拉力．
（3）重力的瞬時功率由公式P=mgvsinθ求，而v由機械能定律求出．

解答 解：（1）小球從最高點向最低點運動的過程中，由機械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$=2mgL+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得 v_M=$\sqrt{{v}_{A}^{2}+4gL}$=$\sqrt{{4}^{2}+4×10×0.5}$=6m/s
（2）在M點，根據(jù)牛頓第二定律得
  T-mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{L}$
解得  T=m（g+$\frac{{v}_{M}^{2}}{L}$）=3×（10+$\frac{{6}^{2}}{0.5}$）N=246N
（3）從A到N，由機械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$=mgL（1-cosθ）+$\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$
小球過N點時，重力的瞬時功率是 P=mgv_Nsinθ
聯(lián)立解得 P=54$\sqrt{2}$W
答：
（1）小球在最低點M時，速度的大小是6m/s．
（2）小球過M點時，受到細線的拉力是246N．
（3）小球過N點時，重力的瞬時功率是54$\sqrt{2}$W．

點評 本題是機械能守恒定律和向心力的綜合，要明確圓周運動的向心力來源于指向圓心的合力，要注意重力的瞬時功率不等于mgv，而是mgvsinθ．