Question

4．長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.5m的不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線(xiàn)OA，O端固定，A端連有一個(gè)質(zhì)量m=3.0kg的小球（質(zhì)點(diǎn)），如圖，小球以O(shè)點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速率為4m/s，不計(jì)空氣阻力，M點(diǎn)是圓周的最低點(diǎn)，N點(diǎn)是圓周上的一點(diǎn)，θ=37°（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）小球在最低點(diǎn)M時(shí)，速度的大小是多少？
（2）小球過(guò)M點(diǎn)時(shí)，受到細(xì)線(xiàn)的拉力是多少？
（3）小球過(guò)N點(diǎn)時(shí)，重力的瞬時(shí)功率是多少？

Answer 1

分析 （1）小球從最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，細(xì)線(xiàn)的拉力不做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求解．
（2）在M點(diǎn)，由重力和細(xì)線(xiàn)拉力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求細(xì)線(xiàn)的拉力．
（3）重力的瞬時(shí)功率由公式P=mgvsinθ求，而v由機(jī)械能定律求出．

解答 解：（1）小球從最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$=2mgL+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得 v_M=$\sqrt{{v}_{A}^{2}+4gL}$=$\sqrt{{4}^{2}+4×10×0.5}$=6m/s
（2）在M點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得
  T-mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{L}$
解得  T=m（g+$\frac{{v}_{M}^{2}}{L}$）=3×（10+$\frac{{6}^{2}}{0.5}$）N=246N
（3）從A到N，由機(jī)械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$=mgL（1-cosθ）+$\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$
小球過(guò)N點(diǎn)時(shí)，重力的瞬時(shí)功率是 P=mgv_Nsinθ
聯(lián)立解得 P=54$\sqrt{2}$W
答：
（1）小球在最低點(diǎn)M時(shí)，速度的大小是6m/s．
（2）小球過(guò)M點(diǎn)時(shí)，受到細(xì)線(xiàn)的拉力是246N．
（3）小球過(guò)N點(diǎn)時(shí)，重力的瞬時(shí)功率是54$\sqrt{2}$W．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒定律和向心力的綜合，要明確圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源于指向圓心的合力，要注意重力的瞬時(shí)功率不等于mgv，而是mgvsinθ．