Question

如圖所示，豎直放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距L，在M點(diǎn)和P點(diǎn)間接有一個(gè)阻值為R的電阻，在兩導(dǎo)軌間的矩形區(qū)域OO₁O₁′O′內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面向里、寬為d的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒ab垂直地?cái)R在導(dǎo)軌上，與磁場的上邊界相距d₀．現(xiàn)使ab棒由靜止開始釋放，棒ab在離開磁場前已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動（棒ab與導(dǎo)軌始終保持良好接觸且下落過程中始終保持水平，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)）．
（1）求棒ab離開磁場的下邊界時(shí)的速度大小．
（2）求棒ab進(jìn)入磁場區(qū)域勻速運(yùn)動前速度達(dá)到v₁時(shí)的加速度大�。�
（3）求棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）棒ab在離開磁場做勻速直線運(yùn)動，重力與安培力平衡，由E=BLv、I=

E

R+r

、F=BIL推導(dǎo)出安培力，由平衡條件求出棒ab離開磁場的下邊界時(shí)的速度大�。�
（2）推導(dǎo)安培力的表達(dá)式得到速度達(dá)到v₁時(shí)的安培力大小，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．
（3）棒ab從靜止釋放到剛出磁場的過程，根據(jù)能量守恒定律求解在通過磁場區(qū)的過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱，由焦耳定律求解棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

解答：解：（1）設(shè)棒ab離開磁場的邊界前做勻速運(yùn)動的速度為v，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv    …①
電路中的電流I=

E

R+r

   …②
對棒ab，由平衡條件得：mg-BIL=0   …③
聯(lián)立①②③解得：v=

mg(R+r)

B2L2

    …④
（2）設(shè)棒ab進(jìn)入磁場區(qū)域勻速運(yùn)動前速度達(dá)到v₁時(shí)的加速度大小為a，則：
產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E₁=BLv₁…⑤
電路中的電流I1=

E1

R+r

…⑥
則由牛頓第二定律可得：mg-BIL=ma…⑦
聯(lián)立①②⑤解得：a=g-

B2L2v1

m(R+r)

…⑧
（3）設(shè)整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律可得：
mg（d₀+d）=Q+

1

2

mv²    …⑨
聯(lián)立④⑤解得：Q=mg（d₀+d）-

m3g2(R+r)2

2B4L4

  …⑩
由于通過棒ab和電阻R的電流始終相等，由焦耳定律可得，棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q_ab為：
  Q_ab=

r

R+r

[mg（d₀+d）-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]
答：
（1）棒ab離開磁場的下邊界時(shí)的速度大小是

mg(R+r)

B2L2

．
（2）求棒ab進(jìn)入磁場區(qū)域勻速運(yùn)動前速度達(dá)到v₁時(shí)的加速度大小是g．
（3）求棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱是Q_ab=

r

R+r

[mg（d₀+d）-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]．

點(diǎn)評：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，關(guān)鍵由E=BLv、I=

E

R+r

、F=BIL推導(dǎo)出安培力．