Question

如圖（甲）所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導軌相距為L₁=0.4m，導軌平面與水平面成θ=30⁰角，下端通過導線連接阻值R=0.6Ω的電阻．質量為m=0.2kg、阻值r=0.2Ω的金屬棒ab放在兩導軌上，棒與導軌垂直并保持良好接觸，整個裝置處于垂直導軌平同 向上的磁場中，取g=lOm/s²．

（1）若金屬棒距導軌下端L₂=0.5m，磁場隨時間變化的規(guī)律如圖（乙）所示，為保持金屬棒靜止，試求加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時問變化的關系
（2）若所加磁場的磁感應強度大小恒為B’，通過額定功率Pm=l OW的小電動機對金屬棒施加沿斜面向上的牽引力，使其從靜止開始沿導軌做勻加速直線運動，經過 0.5s電動機達到額定功率，此后電動機功率保持不變．金屬棒運動的v-t圖象如圖（丙）所示．試求磁感應強度B’的大小和0.5s內電動機牽引力的沖量大�。�

Answer 1

分析：（1）為保持金屬棒靜止，合力必須為零，沿導軌方向外力F、重力的分力和安培力必須平衡．由乙圖知，B均勻增大，回路中產生恒定的感應電流，根據法拉第定律、歐姆定律和安培力公式，結合平衡條件求外力F的表達式．
（2）由圖丙知，金屬棒運動的最大速度為v_m=5m/s，此時棒做勻速運動，合力為零，根據法拉第定律、歐姆定律和安培力公式，以及功率公式P=Fv求B′．
在0-0.5s內，棒做勻加速運動，由牛頓第二定律列式求出0.5s時的速度，由動量定理求出0.5s內的沖量．

解答：解：（1）金屬棒沿斜面方向受力平衡，由圖乙知，B均勻減小，根據楞次定律可知，棒所受的安培力沿斜面向下，要保持棒靜止，外力應沿斜面向上，設其大小為F，則
   F-mgsinθ-BIL₁=0…①
由圖乙可知，t時刻磁感應強度B的大小可表示為 B=2.5t T…②
t時刻，回路中的感應電動勢 E=

△Φ

△t

=

△B

△t

S=

△B

△t

L₁L₂…③
此時回路中的感應電流為 I=

E

R+r

…④
由圖乙知：

△B

△t

=2.5T/s…⑤
聯立①～⑤式得 F=（1+0.625t）N
（2）由圖丙可知，金屬棒運動的最大速度為v_m=5m/s，此時棒做勻速運動，合力為零．
設金屬棒此時所受的拉力大小為F₁，流過棒中的電流為I_m，則
  F₁-mgsinθ-B′I_mL₁=0…⑥
又E_m=B′L₁v_m，I_m=

Em

R+r

，P_m=F₁v_m…⑦
由⑥⑦得：B′=1T
在0.5s時，設金屬棒所受的拉力大小為F₂，加速度為a，運動的速度大小為v₂，流過金屬棒的電流為I₂，根據牛頓第二定律得
  F₂-mgsinθ-B′I₂L₁=ma…⑧
又E₂=B′L₁v₂，I2=

E2

R+r

，P_m=F₂v₂，v₂=at…⑨
0.5s內，由動量定理得：
 I_F-mgsinθ-I_B=mv₂…⑩
而安培力沖量I_B=

1

2

B′I2L1t…（11）
由⑧⑨⑩（11）聯立解得，I_F=

4

3

N?s
答：
（1）加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時問變化的關系為 F=（1+0.625t）N．
（2）磁感應強度B′的大小為1T，0.5s內電動機牽引力的沖量大小是

4

3

N?s．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合應用，還整合了電路、力學和電磁感應中：歐姆定律、焦耳定律、動能定理等等多個知識點，還要理解圖象的物理意義，綜合性較強．