Question

11．如圖所示，在平面直角坐標系xOy內，第Ⅰ象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第Ⅳ象限存在垂直于坐標平面向外的有界勻強磁場，磁感應強度為B，虛線為磁場的左邊界且平行于y軸．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從y軸上的M（0，h）點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經x軸上的P（2h，0）點進入磁場，最后以垂直于y軸的方向從Q點（圖中未畫出）射出磁場．不計粒子重力．求：
（1）電場強度E的大��；
（2）粒子從進入電場到離開磁場經歷的總時間t；
（3）Q點的坐標．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，結合牛頓第二定律和運動學公式求出電場強度的大小，根據動能定理求出粒子進入磁場時的速度大小，通過平行四邊形定則求出速度的方向．
（2）根據運動學公式求出粒子在電場中做類平拋運動的時間，結合粒子在磁場中運動的周期公式，通過圓心角求出在磁場中運動的時間，從而得出總時間．
（3）根據半徑公式求出粒子在磁場中做圓周運動的半徑，結合幾何關系求出Q點的坐標．

解答 解：（1）粒子運動的軌跡如圖所示，粒子在電場中x，y方向的運動：2h=v₀t₁，h=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
根據牛頓第二定律：Eq=ma，
得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$．
根據動能定理：$qEh=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}{\;}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2}{v}_{0}$．
$cosα=\frac{{v}_{0}}{v}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：α=45°．
（2）設粒子在電場中運動的時間為t₁，則有：${t}_{1}=\frac{2h}{{v}_{0}}$，
粒子在磁場中運動的周期為：T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
設粒子射入磁場時與x軸成α角，在磁場中運動的圓弧所對圓心角為β，由幾何關系得：
β=135°
所以粒子在磁場中運動的時間為：${t_2}=\frac{3}{8}T$，
總時間為：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2h}{{v}_{0}}+\frac{3πm}{4qB}$．
（3）根據$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$．
y=r+rsin45°=$\frac{（1+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$，
x=2h-rcos45°=$2h-\frac{m{v}_{0}}{qB}$．
答：（1）電場強度E的大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$．
（2）粒子從進入電場到離開磁場經歷的總時間t為$\frac{2h}{{v}_{0}}+\frac{3πm}{4qB}$．
（3）Q點的坐標為為（$2h-\frac{m{v}_{0}}{qB}$，$\frac{（1+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qB}$）

點評 粒子在電場中運動偏轉時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題．