Question

20．如圖所示，AC為光滑的水平桌面，輕彈簧的一端固定在A端的豎直墻壁上，質(zhì)量m=1kg的小物塊經(jīng)彈簧的另一端壓縮到B點(diǎn)，之后由靜止釋放，離開(kāi)彈簧后從C點(diǎn)水平飛出，恰好從D點(diǎn)以v_D=$\sqrt{10}$m/s的速度沿切線方向進(jìn)入豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道DEF（小物塊與軌道間無(wú)碰撞）．O為圓弧軌道的圓心，E為圓弧軌道的最低點(diǎn)，圓弧軌道的半徑R=1m，∠DOE=60°，∠EOF=37°．我小物塊運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)后，沖上足夠長(zhǎng)斜面FG，斜面FG與與圓軌道相切于F點(diǎn)，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．不計(jì)空氣阻力．求：

（1）彈簧最初具有的彈性勢(shì)能；
（2）小物塊第一次到達(dá)圓弧軌道的E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（3）判斷小物塊沿斜面FG第一次返回圓弧軌道后能否回到圓弧軌道的D點(diǎn)？若能，求解小物塊回到D點(diǎn)的速度；若不能，求解經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后小物塊通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）物塊離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由D點(diǎn)沿圓軌道切線方向進(jìn)入圓軌道，知道了到達(dá)D點(diǎn)的速度方向，將D點(diǎn)的速度分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)角度關(guān)系求出水平分速度，即離開(kāi)C點(diǎn)時(shí)的速度v_C．再研究彈簧釋放的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律求彈簧最初具有的彈性勢(shì)能；
（2）物塊從D到E，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求出通過(guò)E點(diǎn)的速度．在E點(diǎn)，由牛頓定律和向心力知識(shí)結(jié)合求物塊對(duì)軌道的壓力．
（3）假設(shè)物塊能回到D點(diǎn)，對(duì)物塊從A到返回D點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出D點(diǎn)的速度，再作出判斷．

解答 解：（1）物塊由D點(diǎn)沿圓軌道切線進(jìn)入圓軌道，則知通過(guò)D點(diǎn)的速度與水平方向的夾角為60°．
由速度分解法可得：物塊通過(guò)C點(diǎn)的速度為：v_C=v_Dcos60°=$\frac{\sqrt{10}}{2}$m/s
彈簧最初具有的彈性勢(shì)能為：E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=1.25J
（2）物塊從D到E，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR（1-cos60°）+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：v_E=2$\sqrt{5}$m/s，N=30N
由牛頓第三定律可知，物塊對(duì)軌道的壓力為：N′=N=30N
（3）設(shè)物塊第一次沿斜面上滑的距離為S．從E點(diǎn)到斜面上的最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-mgR（1-cos37°）-mgSsin37°-μmgcos37°•S=0-$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得：S=0.8m
設(shè)小物塊沿斜面FG第一次返回圓弧軌道后距E點(diǎn)的最大高度為h．從斜面上最高點(diǎn)到左側(cè)最高點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgR（1-cos37°）+mgSsin37°-mgh-μmgcos37°•S=0
解得：h=0.36m
因?yàn)閔＞R（1-cos37°）=0.2m，所以物塊能回到圓弧軌道的D點(diǎn)．
答：（1）彈簧最初具有的彈性勢(shì)能是1.25J；
（2）小物塊第一次到達(dá)圓弧軌道的E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是30N；
（3）物塊能回到圓弧軌道的D點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題是多過(guò)程問(wèn)題，要按時(shí)間順序分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律，在涉及力在空間的效果時(shí)，運(yùn)用動(dòng)能定理求速度是常用的方法．平拋運(yùn)動(dòng)常常根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解法研究．