Question

20．如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動，可視為質(zhì)點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，裝置靜止時細線AB水平，細線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m，細線AC長l，B點距C點的水平距離和豎直距離相等．
（1）若AB細線水平且拉力等于重力的一半，求此時裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω₁的大��；
（2）若要使AB細線上的拉力為零，求裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對小球進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（2）當細線AB張力為零時，繩子AC拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得：
Tcosθ=mg，
Tsinθ-${T}_{AB}=m{{ω}_{1}}^{2}lsinθ$
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{5g}{12l}}$
（2）由題意，當ω最小時，繩AC與豎直方向的夾角α=37°，受力分析，如圖，則有
$mgtanα=m（lsinα）{{ω}_{min}}^{2}$
解得：${ω}_{min}=\sqrt{\frac{5g}{4l}}$
細線AB恰好豎直，但張力為零時，ω最大，設(shè)細線AC與豎直方向的夾角為β．
由幾何關(guān)系得：$cosβ=\frac{3}{5}$，得β=53°，則
$mgtanβ=m（lsinβ）{{ω}_{max}}^{2}$
解得：${ω}_{max}=\sqrt{\frac{5g}{3l}}$，
所以ω的取值范圍為$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．
答：（1）若AB細線水平且拉力等于重力的一半，求此時裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω₁的大小為$\sqrt{\frac{5g}{12l}}$；
（2）若耍使AB細線上的拉力為零，裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω的取值范圍為$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運動的向心力來源，確定小球運動過程中的臨界狀態(tài)，運用牛頓第二定律進行求解．