Question

8．如圖所示，豎直放置的U形管的橫截面積均為S，內裝密度為ρ的液體，ρg=0.1atm/m．右側管與大氣連通且足夠長，且管內有一質量為m的活塞擱在固定卡口上，卡口位置與右管上端等高．開始時，左、右管內液面高度相等，兩管內空氣柱長度均為l₀=1.0m，壓強均為大氣壓強p₀=1atm．現(xiàn)使兩邊氣體升高相同的溫度，平衡時左側管內液面下降h=0.1m，此時右側管內氣體長度為1.12m．（已知：mg/S=0.01atm）

Answer 1

分析 先假設活塞不動，可以求出右邊管內氣體壓強，對左邊氣體有$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{′}{V}_{1}^{′}}{{T}_{1}^{′}}$，對右邊氣體$\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{′}{V}_{2}^{′}}{{T}_{2}^{′}}$，列出體積關系和壓強關系，得出壓強無解，說明假設不成立；
活塞向上移，根據(jù)活塞的平衡條件求出右側氣體的壓強，由兩側水銀面的高度差求出左側氣體的壓強，再對左右兩側氣體分別運用理想氣體狀態(tài)方程求右側氣體的長度；

解答 解：假設活塞不動
對左側氣體：$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{′}{V}_{1}^{′}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{1}^{′}1.1S}{{T}_{2}^{\;}}$①
對右側氣體：$\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{′}{V}_{2}^{′}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{（{p}_{1}^{′}-ρg×0.2）0.9S}{{T}_{2}^{\;}}$=$\frac{（{p}_{1}^{′}-0.02）×0.9S}{{T}_{2}^{\;}}$②
聯(lián)立①②解得：${p}_{1}^{\;}=-0.09atm$不符合實際情況，所以活塞一定向上運動；兩個管子是完全相同的，升高相同的溫度，不可能一個壓強增大，一個壓強減小，如果活塞不動的話，那么水銀柱是不會動的，因為它們壓強變化量是相同的，正是因為無解說明這個狀態(tài)不存在，也即活塞向上運動；
以活塞為研究對象，活塞受到受到三力平衡，上面大氣的壓力、里面氣體的壓力，和重力
$mg+{p}_{0}^{\;}S={p}_{右}^{\;}S$
即：${p}_{右}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=1+0.01=1.01atm$
右管比左管水銀面高0.2m，${p}_{左}^{\;}={p}_{右}^{\;}+ρgh=1.01+0.1×0.2=1.03atm$
設初態(tài)溫度為${T}_{1}^{\;}$，末態(tài)溫度${T}_{2}^{\;}$，右側管內氣體的長度l
對左側氣體：$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{左}^{\;}{V}_{左}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$，
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{1.03atm×1.1S}{{T}_{2}^{\;}}$③
對右側氣體：$\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{右}^{\;}{V}_{右}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{1atm×1.0S}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{1.01atm×lS}{{T}_{2}^{\;}}$④
聯(lián)立③④得：l=1.12m
故答案為：1.12

點評 本題考查理想氣體狀態(tài)方程的應用，注意判斷活塞是否移動，根據(jù)受力平衡求氣體壓強，對兩部分氣體列理想氣體狀態(tài)方程要正確確定初末狀態(tài)的參量．