Question

如圖所示，將質(zhì)量M=1.20kg的小沙箱，用輕質(zhì)軟繩（不可伸長）懸掛起來，開始處于靜止?fàn)顟B(tài)，繩的長度l=0.80m．用槍向沙箱發(fā)射質(zhì)量m=0.05kg的子彈，子彈以v₀=100m/s 的速度向右水平擊中小沙箱，并留在小砂箱中，小沙箱在豎直平面內(nèi)向上擺動(dòng)．假設(shè)沙箱每次向左運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)就恰好有一顆同樣速度的子彈射入沙箱，子彈射入沙箱的過程經(jīng)歷時(shí)間極短，可忽略不計(jì)，重力加速度g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．
（1）求第一顆子彈射入沙箱的過程中子彈對(duì)砂箱的沖量大�。�
（2）求第一顆子彈射入沙箱并相對(duì)沙箱靜止的瞬間，求砂箱對(duì)繩的拉力的大��；
（3）求第一顆子彈射入沙箱后，砂箱擺動(dòng)的最大高度；
（4）要使沙箱擺動(dòng)的最大角度小于60°，射入沙箱的子彈數(shù)目至少為多少？

Answer 1

分析：（1）子彈射入砂箱的過程中，兩者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出子彈射入砂箱后瞬間的共同速度，再對(duì)砂箱，運(yùn)用動(dòng)量定理求解子彈對(duì)砂箱的沖量大小；
（2）以砂箱和子彈整體為研究對(duì)象，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求解即可．
（3）第一顆子彈擊中砂箱后，砂箱向上擺動(dòng)到最大高度的過程中，由機(jī)械能守恒定律求解最大高度．
（4）子彈射入砂柞的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，運(yùn)用歸納法，由動(dòng)量守恒定律可以求出n顆鋼珠射入砂箱后，砂箱的速度；砂擺要回到釋放時(shí)的高度，結(jié)合機(jī)械能守恒求出n．

解答：解：（1）設(shè)第一顆子彈擊中砂箱后，砂箱的速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律：
mv₀=（m+M）v₁
解得：v₁=

m

m+M

v0=4 m/s     
對(duì)砂箱用動(dòng)量定理得：I=Mv₁-0=4.8 N?s    
（2）以砂箱和子彈整體為研究對(duì)象，設(shè)繩的拉力為F，由牛頓第二定律和向心力公式：
  F-（m+M）g=（m+M）

v 2 1

l

解得：F=（m+M）（

v 2 1

l

+g）=37.5 N    
（3）設(shè)第一顆子彈擊中砂箱后，砂箱擺動(dòng)的最大高度為h，由機(jī)械能守恒定律：
（m+M）gh=

1

2

(M+m)

v

2 1

解得：h=0.8 m   
（4）設(shè)第二顆子彈擊中砂箱后，砂箱的速度為v₂：
   mv₀-（m+M）v₁=（2m+M）v₂，得v₂=0     
設(shè)第三顆子彈擊中砂箱后，砂箱的速度為v₃：
mv₀=（3m+M）v₃，得v₃=

m

3m+M

v0
所以子彈擊中砂箱后砂箱的速度為：
  v_n=0   （n為偶數(shù)）  v_n=

m

nm+M

v0 （n為奇數(shù)）  
設(shè)第n顆子彈擊中砂箱后，砂箱擺動(dòng)的最大角度為α=60°：

1

2

(nm+M)

v

2 n

=（nm+M）gl（1-cos60°）
解得：n=11.4   所以射入沙箱的子彈數(shù)目最少為13顆．  
答：
（1）第一顆子彈射入沙箱的過程中子彈對(duì)砂箱的沖量大小是4.8 N?s；
（2）第一顆子彈射入沙箱并相對(duì)沙箱靜止的瞬間，砂箱對(duì)繩的拉力的大小為37.5 N；
（3）第一顆子彈射入沙箱后，砂箱擺動(dòng)的最大高度是0.8m；
（4）要使沙箱擺動(dòng)的最大角度小于60°，射入沙箱的子彈數(shù)目至少為13．

點(diǎn)評(píng)：動(dòng)量是矢量，動(dòng)量守恒定律方程是矢量方程，在應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)，要注意正方向的選擇．關(guān)鍵要運(yùn)用歸納法分析規(guī)律進(jìn)行求解第4題．