Question

【題目】如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P,其質(zhì)量m=2×10-2 kg,電荷量q=0.2 C.將彈簧拉至水平后，以某一初速度豎直向下射出小球P,小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O1點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5 m的圓周運(yùn)動(dòng)。小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10 m/s2。那么，

（1）判斷小球所帶電性；

（2）試求碰后小球N的速度的大��；

（3）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度。

（4）若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請(qǐng)推導(dǎo)出r的表達(dá)式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角)。

Answer 1

【答案】（1）帶正電（2）2.5m/s（3）不可能（4） （n=0.1.2.3）

【解析】（1）由題意知：N碰后做平拋，小球P在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故P所受電場(chǎng)力和重力平衡，P帶正電荷；

（2）設(shè)P、N碰后的速度大小分別為和V，并令水平向右為正方向

由，得①

若P、N碰后速度同向時(shí)②

計(jì)算可得，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)；

設(shè)P、N瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)，有③得；④

（3）設(shè)P、N速度相等時(shí)，N經(jīng)過(guò)的時(shí)間為tN，P經(jīng)過(guò)的時(shí)間為tP，此時(shí)N的速度V1的方向與水平方向的夾角為θ，有：

cos⑤

解得： ， ⑥，代入數(shù)據(jù)得

對(duì)小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有⑦，即

P經(jīng)過(guò)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為α，有⑧

當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直于紙面向外時(shí)，若P、N的速度相同，如圖可知，有：

聯(lián)立相關(guān)方程得

比較得： ，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同；

當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直于紙面向里時(shí)，若P、N的速度相同，如圖可知，有：

同上得

比較得： ，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同；

（4）當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同， ，

再聯(lián)立①⑥⑦⑧解得

考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性（n=0.1.2.3）

當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，

同理得

考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有（n=0.1.2.3）

（給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值）