Question

（2009?南京一模）如圖所示，足夠長的木板質(zhì)量M=10kg，放置于光滑水平地面上，以初速度v₀=5m/s沿水平地面向右勻速運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)有足夠多的小鐵塊，它們的質(zhì)量均為m=1kg，在木板上方有一固定擋板，當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)到其最右端位于擋板正下方時(shí)，將一小鐵塊貼著擋板無初速度地放在木板上，小鐵塊與木板的上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)了L=1m時(shí)，又無初速地貼著擋板在第1個(gè)小鐵塊上放上第2個(gè)小鐵塊．只要木板運(yùn)動(dòng)了L就按同樣的方式再放置一個(gè)小鐵塊，直到木板停止運(yùn)動(dòng)．（取g=10m/s²）試問：
（1）第1個(gè)鐵塊放上后，木板運(yùn)動(dòng)了L時(shí)，木板的速度多大？
（2）最終木板上放有多少個(gè)鐵塊？
（3）最后一個(gè)鐵塊放上后，木板再向右運(yùn)動(dòng)的距離是多少？

Answer 1

分析：（1）第1個(gè)鐵塊放上后，木板受到向左的滑動(dòng)摩擦力而做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解木板運(yùn)動(dòng)了L時(shí)的速度．
（2）假設(shè)最終有n個(gè)鐵塊能放在木板上，由牛頓第二定律求出此時(shí)的加速度，再由速度位移關(guān)系式分析第1個(gè)鐵塊、第2個(gè)鐵塊…第n個(gè)鐵塊放上后木板的速度，當(dāng)木板的速度為0時(shí)，確定鐵塊的個(gè)數(shù)．
（3）由上分析得到放上n-1塊鐵塊時(shí)木板的位移與速度，再由速度位移關(guān)系式求出后一個(gè)鐵塊放上后，木板再向右運(yùn)動(dòng)的距離．

解答：解：（1）第1個(gè)鐵塊放上后，木板做勻減速運(yùn)動(dòng)，
即有：μmg=Ma₁，2a₁L=v₀²-v₁²
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=2

6

m/s．
（2）設(shè)最終有n個(gè)鐵塊能放在木板上，則木板運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：
  a_n=

μnmg

M

第1個(gè)鐵塊放上后：2a₁L=v₀²-v₁²
第2個(gè)鐵塊放上后：2a₂L=v₁²-v₂²
   …
第n個(gè)鐵塊放上后：2a_nL=

v

2 n-1

-

v

2 n

由上可得：（1+2+3+…+n）?2

μmg

M

L=v₀²-

v

2 n

木板停下時(shí)，v_n=0，解得n=6.6．
即最終有7個(gè)鐵塊放在木板上．
（3）從放上第1個(gè)鐵塊至剛放上第7個(gè)鐵塊的過程中，由（2）中表達(dá)式可得：
  

6×(6+1)

2

?2

μmg

M

L=v₀²-v₆²
從放上第7個(gè)鐵塊至木板停止運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)木板發(fā)生的位移是d，則：
   2?

7μmg

M

d=v₆²-0
解得：d=

4

7

m．
答：（1）第1個(gè)鐵塊放上后，木板運(yùn)動(dòng)了L時(shí)，木板的速度是2

6

m/s．
（2）最終木板上放有7個(gè)鐵塊．
（3）最后一個(gè)鐵塊放上后，木板再向右運(yùn)動(dòng)的距離是

4

7

m．

點(diǎn)評：本題是物理上數(shù)列類型的問題，運(yùn)用歸納法總結(jié)規(guī)律，得到速度的通項(xiàng)是關(guān)鍵．