Question

13．一次低空跳傘訓(xùn)練中，當(dāng)直升飛機(jī)懸停在離地面224m高處時(shí)，傘兵離開飛機(jī)做自由落體運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，打開降落傘，展開后傘兵以12.5m/s²的加速度勻減速下降，為了傘兵的安全，要求傘兵落地速度最大不得超過5m/s，（取g=10m/s²）求：
（1）傘兵剛展傘時(shí)，離地面的高度至少為多少？著地時(shí)相當(dāng)于從多高處自由落下？
（2）傘兵在空中的最短時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）整個(gè)過程中，傘兵先做自由落體運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)，總位移大小等于224m．設(shè)傘兵展傘時(shí)，離地面的高度至少為h，此時(shí)速度為v₀，先研究勻減速過程，由速度-位移關(guān)系式，得到v₀與h的關(guān)系式，再研究自由落體過程，也得到一個(gè)v₀與h的關(guān)系式，聯(lián)立求解．
（2）由（1）求出v₀，由速度公式求出兩個(gè)過程的時(shí)間，即可得到總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)傘兵展傘時(shí)，離地面的高度至少為h，此時(shí)速度為v₀，對(duì)于勻減速運(yùn)動(dòng)過程，有：${v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=-2ah$，
即：$25-{{v}_{0}}^{2}=-2×12.5×h$，
對(duì)于自由下落過程，有：${{v}_{0}}^{2}=2g（224-h）$=2×10×（224-h）
聯(lián)立解得：h=99 m，v₀=50 m/s
以5m/s的速度落地相當(dāng)于從h₁高處自由落下，即：2gh₁=v²　
所以有：h₁=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{25}{20}$m=1.25m．
（2）設(shè)傘兵在空中的最短時(shí)間為t，自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，勻減速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，則有：
根據(jù)速度時(shí)間公式得：v₀=gt₁，
自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{g}=\frac{50}{10}s=5s$，
勻減速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{v-{v}_{0}}{a}$=$\frac{5-50}{-12.5}$s=3.6 s，
故所求時(shí)間為：t=t₁+t₂=（5+3.6）s=8.6 s．
答：（1）傘兵展傘時(shí)，離地面的高度至少為99m，著地時(shí)相當(dāng)于從1.25m高處自由落下．
（2）傘兵在空中的最短時(shí)間為8.6s．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及兩個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，既要單獨(dú)研究兩個(gè)過程，更要抓住它們之間的聯(lián)系：比如位移關(guān)系、速度關(guān)系等等．