Question

如圖所示，輕質(zhì)細(xì)繩的一端系一質(zhì)量m=0.01kg的小球，另一端系一光滑小環(huán)套在水平軸O上，O到小球的距離d=0.1m，小球跟水平面接觸無(wú)相互作用力，在球的兩側(cè)距球等遠(yuǎn)處，分別豎立一固定擋板，兩擋板相距L=2m．水平面上有一質(zhì)量為M=0.01kg的小滑塊，與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，開(kāi)始時(shí)，滑塊從左擋板處，以v₀=10m/s的初速度向小球方向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，設(shè)所有碰撞均無(wú)能量損失，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，g=10m/s²．則：
（1）在滑塊第一次與小球碰撞后的瞬間，懸線對(duì)小球的拉力多大？
（2）試判斷小球能否完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)．如能完成，則在滑塊最終停止前，小球能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)多少次？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求出木塊與小球碰撞前的速度，碰撞的過(guò)程中無(wú)能量損失，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出碰后小球的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出繩子拉力的大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)的最小速度，通過(guò)動(dòng)能定理求出最后一次碰撞后的速度，抓住碰撞過(guò)程中速度交換，對(duì)木塊全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，從而得出小球能完成完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得：-μMg?

L

2

=

1

2

Mv12-

1

2

Mv02
代入數(shù)據(jù)解得：v1=

95

m/s．
根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：Mv₁=Mv₁′+mv₂
根據(jù)能量守恒定律得：

1

2

Mv12=

1

2

Mv1′2+

1

2

mv22．
聯(lián)立解得：v2=v1=

95

m/s．
根據(jù)牛頓第二定律得：T-mg=m

v22

d

解得：T=mg+m

v22

d

=0.1+0.01×

95

0.1

N=9.6N．
（2）能．設(shè)第K次碰撞恰能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，
在最高點(diǎn)的臨界速度為：v=

gd

根據(jù)動(dòng)能定理得：-mg?2d=

1

2

mv2-

1

2

mvk2
解得：v_K=

5gd

…①
木塊與小球質(zhì)量相等，碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒、能量守恒，交換速度，
整個(gè)過(guò)程中由動(dòng)能定理得：-（2K-1）μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 K

-

1

2

m

v

2 0

…②
由①②得k=10，可知小球能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)10次．      
答：（1）懸線對(duì)小球的拉力為9.6N．
（2）能，小球能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)10次．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律和動(dòng)能定理，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是道難題．