Question

如圖所示，一質(zhì)量為M的小車靜止在光滑水平面上，水平面左右兩側(cè)均為固定的豎直墻壁，左側(cè)與一光滑固定的1/4圓弧相連，半徑R＝0.8 m，圓弧底端切線水平且與車的上表面平齊，將一質(zhì)量為m的小滑塊(可視為質(zhì)點)從圓弧頂端由靜止釋放后滑下，滑塊與車的上表面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.3，已知M＝3m，小車所在的水平面足夠長(即滑塊與小車的速度相同前小車不會與墻壁相碰)，且小車每次與墻壁的碰撞都不損失機械能(取g＝10 m/s²)．求：
(1)小車第一次與墻壁相碰前的速度．
(2)要保證滑塊始終不從車上掉下來，車長至少為多少？

Answer 1

解：(1)滑塊下滑到圓弧底端時速度設(shè)為v₀，第一次與墻壁碰撞前共同速度設(shè)為v₁
根據(jù)機械能守恒：mgR＝mv₀² ①
滑塊在車上滑動過程中系統(tǒng)動量守恒：mv₀＝(m＋M)v₁ ②
又由題意知：M＝3m ③
聯(lián)立①②③并代入數(shù)據(jù)解得：v₁＝1 m/s
即小車第一次與墻壁相碰撞前的速度為1 m/s
(2)設(shè)小車第一次與墻壁相碰撞前滑塊在車上相對滑過的距離設(shè)為l₁，根據(jù)能量守恒有：
μmgl₁＝mv₀²－(m＋M)v₁² ④
小車第一次與墻壁碰后反向向左運動，二者共同速度運動時的速度設(shè)為v₂
在此過程中，車與滑塊系統(tǒng)動量守恒：Mv₁－mv₁＝(M＋m)v₂ ⑤
設(shè)此過程中滑塊相對小車向右滑動的距離為l₂
根據(jù)能量守恒有：μmgl₂＝(m＋M)v₁²－(m＋M)v₂² ⑥
經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，此后小車與墻壁兩側(cè)分別碰撞后，滑塊與小車系統(tǒng)損失的機械能逐次減少，相對滑過的距離也減小，而且相對滑動的方向依次改變，故車長至少應(yīng)為l＝l₁＋l₂ ⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦并代入數(shù)據(jù)解得：l＝2.5 m