Question

（25分）圖中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐標系，在的一側，存在勻強磁場，磁場方向垂直于oxy平面向里，磁感應強度的大小為B。在的一側，一邊長分別為和的剛性矩形超導線框位于桌面上，框內(nèi)無電流，框的一對邊與x軸平行。線框的質(zhì)量為m，自感為L。現(xiàn)讓超導線框沿x軸方向以初速度進入磁場區(qū)域，試定量地討論線框以后可能發(fā)生的運動情況及與初速度大小的關系。（假定線框在運動過程中始終保持超導狀態(tài)）

Answer 1

解析：

設某一時刻線框在磁場區(qū)域的深度為x，速度為，因線框的一條邊切割磁感應線產(chǎn)生的感應電動勢為，它在線框中引起感應電流，感應電流的變化又引起自感電動勢．設線框的電動勢和電流的正方向均為順時針方向，則切割磁感應線產(chǎn)生的電動勢與設定的正方向相反，自感電動勢與設定的正方向相同.因線框處于超導狀態(tài)，電阻，故有

           （1）

即

                       （2）

或

                                            （3）

即

                           （4）

可見與x成線性關系，有

                                             （5）

C為一待定常數(shù)，注意到時，，可得，故有

                            （6）

時，電流為負值表示線框中電流的方向與設定的正方向相反，即在線框進入磁場區(qū)域時右側邊的電流實際流向是向上的．外磁場作用于線框的安培力

                    （7）

其大小與線框位移x成正比，方向與位移x相反，具有“彈性力”的性質(zhì)．下面分兩種情形做進一步分析：

（i）線框的初速度較小，在安培力的作用下，當它的速度減為0時，整個線框未全部進入磁場區(qū)，這時在安培力的繼續(xù)作用下，線框?qū)⒎聪蜻\動，最后退出磁場區(qū)．線框一進一出的運動是一個簡諧振動的半個周期內(nèi)的運動，振動的圓頻率

                                             （8） 

周期

                                             （9）

振動的振幅可由能量關系求得，令表示線框速度減為0時進入磁場區(qū)的深度，這時線框的初始動能全部轉(zhuǎn)換為“彈性力”的“彈性勢能”，由能量守恒可得

                              （10）

得

                                         （11）

故其運動方程為

，  t從0到 （12）

半個周期后，線框退出磁場區(qū)，將以速度向左勻速運動．因為在這種情況下的最大值是，即

                                     （13）

由此可知，發(fā)生第（i）種情況時，的值要滿足下式

                                     

即                                            （14）

 (ii) 若線框的初速度比較大，整個線框能全部進入磁場區(qū)．當線框剛進入磁場區(qū)時，其速度仍大于0，這要求滿足下式

                                               （15）

當線框的初速度滿足（15）式時，線框能全部進入磁場區(qū)，在全部進入磁場區(qū)域以前，線框的運動方程與（12）式相同，但位移區(qū)間是到，所以時間間隔與（12）式不同，而是從0到

                       （16）                    

因為線框的總電動勢總是為0，所以一旦線框全部進入磁場區(qū)域，線框的兩條邊都切割磁感應線，所產(chǎn)生的電動勢之和為 0，因而自感電動勢也為0．此后線框中維持有最大的電流，磁場對線框兩條邊的安培力的合力等于零，線框?qū)⒃诖艌鰠^(qū)域勻速前進，運動的速度可由下式?jīng)Q定

即

                                      （17）