Question

9．如圖，半徑為 r的絕緣光滑環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，環(huán)上套有一質(zhì)量為 m，帶電量為+q的珠子，現(xiàn)欲加一個(gè)與圓環(huán)面平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，使珠子由最高點(diǎn)A從靜止開(kāi)始釋放（AC、BD為圓環(huán)的兩條互相垂直的直徑），要使珠子沿圓弧經(jīng)過(guò)B、C剛好能運(yùn)動(dòng)到D，
（1）求所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)最小值及所對(duì)應(yīng)的場(chǎng)強(qiáng)的方向；
（2）當(dāng)所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為最小值時(shí)，珠子由A到達(dá)D的過(guò)程中速度最大時(shí)對(duì)環(huán)的作用力大�。�
（3）在（1）問(wèn)電場(chǎng)中，要使珠子能完成完整的圓運(yùn)動(dòng)在A點(diǎn)至少使它具有多大的初動(dòng)能？

Answer 1

分析 （1）珠子達(dá)到D點(diǎn)的速度為0，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知，BC弧中點(diǎn)為M，速度最大；
（2）根據(jù)1的分析指出等效最高點(diǎn)，在該點(diǎn)時(shí)，重力和電場(chǎng)力的合力提供向心力；
（3）A到該點(diǎn)的過(guò)程重力勢(shì)能、電勢(shì)能和珠子的動(dòng)能之和保持不變．也使用動(dòng)能定理解題．

解答 解：（1）設(shè)電場(chǎng)力與重力的合力為F，方向NM方向，BC弧中點(diǎn)為M，速度最大，
在M點(diǎn)建立F，重力，電場(chǎng)力的平行四邊形，當(dāng)E最小時(shí)，
有Eq=$\frac{\sqrt{2}}{2}$mg 
 E=$\frac{\sqrt{2}mg}{2q}$，方向與CB平行 
（2）F=$\frac{\sqrt{2}}{2}$mg
對(duì)AM過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
F（r+$\frac{\sqrt{2}}{2}$r）=$\frac{1}{2}$mv²-0
做圓周運(yùn)動(dòng)的物體合外力提供向心力，得F_N-F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
F_N=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}+1$）mg，
（3）由A到N的過(guò)程，設(shè)過(guò)A點(diǎn)的動(dòng)能為E_KA，由動(dòng)能定理，-F（r-$\frac{\sqrt{2}}{2}$r）=0-E_KA，得，E_KA=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$mgr．
答：（1）所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)最小值為$\frac{\sqrt{2}mg}{2q}$，所對(duì)應(yīng)的場(chǎng)強(qiáng)的方向?yàn)槠叫杏贑B，C→B；
（2）當(dāng)所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為最小值時(shí)，珠子由A到達(dá)D的過(guò)程中速度最大時(shí)對(duì)環(huán)的作用力為（$\frac{3\sqrt{2}}{2}+1$）mg；
（3）要使珠子能完成完整的圓運(yùn)動(dòng)在A點(diǎn)至少使它具有的初動(dòng)能為$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$mgr．

點(diǎn)評(píng) 該題中，珠子處于重力和電場(chǎng)力的復(fù)合場(chǎng)中做豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，指出等效最高點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．做圓周運(yùn)動(dòng)的物體合外力提供向心力．