Question

15．1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直．A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q，在加速器中被加速，加速電壓為U．加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用．
（1）求粒子第2次和第1次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比．
（2）求粒子最終加速到出口處的速度．
（3）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理和洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑與加速電壓的關(guān)系，從而求出軌道半徑之比．
（2、3）通過(guò)D形盒的半徑求出粒子的最大速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出加速的次數(shù)，一個(gè)周期內(nèi)加速兩次，從而得知在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期次數(shù)，確定出粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁
qu=$\frac{1}{2}$mv₁²
qv₁B=m$\frac{v_1^2}{r_1}$
解得  ${r_1}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
同理，粒子第2次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑  ${r_2}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{4mU}{q}}$
則 ${r_2}：{r_1}=\sqrt{2}：1$
（2）達(dá)到最大半徑時(shí)有：$qvB=m\frac{v^2}{R}$；
解得：$v=\frac{BqR}{m}$；
（3）設(shè)粒子到出口處被加速了n圈：$2nqU=\frac{1}{2}m{v^2}$
粒子的運(yùn)動(dòng)周期為：$T=\frac{2πm}{qB}$
在加速器中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=nT
聯(lián)立解得：$t=\frac{{πB{R^2}}}{2U}$
答：（1）粒子第2次和第1次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比$\sqrt{2}$：1；
（2）粒子最終加速到出口處的速度$\frac{BqR}{m}$；
（3）粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握回旋加速器的原理，運(yùn)用電場(chǎng)加速和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，知道粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期與加速電場(chǎng)的變化周期相等，注意掌握半徑與周期公式的應(yīng)用．