Question

【題目】如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放一半徑為R的豎直圓形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長(zhǎng)度為L(zhǎng)，水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)。小物塊A(可視為質(zhì)點(diǎn))從軌道右側(cè)以初速度v0沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經(jīng)水平軌道返回圓形軌道。已知R＝0.2 m，L＝1 m，v0＝2 m/s，物塊A質(zhì)量為m＝1 kg，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，軌道其他部分摩擦不計(jì)，取g＝10 m/s2。

(1)求物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大�。�

(2)求物塊A被彈簧以原速率彈回后返回到圓形軌道的高度；

(3)調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度L，A仍以v0從軌道右側(cè)沖上軌道，當(dāng)L滿足什么條件時(shí)，物塊A被彈簧彈回后能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道？

Answer 1

【答案】(1)2 m/s (2)0.2 m (3)1 m≤L＜1.5 m或L≤0.25 m

【解析】(1)設(shè)物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小為v1，由動(dòng)能定理可得

－μmgL＝mv－mv

解得v1＝2 m/s。

(2)設(shè)物塊A被彈簧以原速率彈回后返回到圓形軌道的高度為h1，由動(dòng)能定理可得

－μmgL－mgh1＝0－mv

解得h1＝0.2 m＝R，符合實(shí)際情況。

(3)①若A沿軌道上滑至最大高度h2時(shí)，速度減為0，則使A不脫離軌道時(shí)h2需滿足的條件是0<h2≤R

由動(dòng)能定理可得

－2μmgL1－mgh2＝0－mv

聯(lián)立可得1 m≤L1<1.5 m

②若A能沿軌道上滑至最高點(diǎn)，則需滿足m≥mg

由動(dòng)能定理可得

－2μmgL2－mg·2R＝mv－mv

聯(lián)立可得L2≤0.25 m

綜上所述，要使物塊A被彈簧彈回后能返回圓形軌道并沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，L需滿足的條件是1 m≤L<1.5 m或L≤0.25 m。