Question

如圖甲，空間存在-范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．讓質(zhì)量為m，電量為q（q＞0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場(chǎng)中．不計(jì)重力和粒子間的影響．

（1）若粒子以初速度v₁沿y軸正向入射，恰好能經(jīng)過(guò)x 軸上的A（a，0）點(diǎn)，求v₁的大小；
（2）已知一粒子的初速度大小為v（v＞v₁），為使該粒子能經(jīng)過(guò)A（a，0）點(diǎn)，其入射角θ（粒子初速度與x軸正向的夾角）有幾個(gè)？并求出對(duì)應(yīng)的sinθ值；
（3）如圖乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一粒子從O點(diǎn)以初速度v₀沿y軸正向發(fā)射．研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)，且在任一時(shí)刻，粒子速度的x分量v_x與其所在位置的y坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小E無(wú)關(guān)．求該粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度值v_m．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所受洛倫茲力情況，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，求出去半徑大小，即可求出速度v₁的大��；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解．
（3）熟練應(yīng)用功能關(guān)系和數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．

解答：解：（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡可以求出半徑為：
r=

a

2

      ①
洛倫茲力提供向心力有：qvB=

mv2

r

      ②
聯(lián)立①②解得：v1=

qBa

2m

答：v₁的大�。�v1=

qBa

2m

．
（2）根據(jù)題意可知：O、A兩點(diǎn)處于同一圓周上，且圓心在x=

a

2

的直線上，半徑為R．當(dāng)給定一個(gè)初速度v時(shí)，有兩個(gè)入射角，分別在第1、2象限，有
有2個(gè)入射角，分別在第1、2象限．由此解得：sinθ=

aqB

2mv

．
答：其入射角θ（粒子初速度與x軸正向的夾角）有2個(gè)，sinθ=

aqB

2mv

．
（3）粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅有電場(chǎng)力做功，因此在軌道的最高點(diǎn)處速率最大，且此處速度方向水平．用y_m表示該處的縱坐標(biāo)，有：
qEym=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

…①；
由題意v_m=ky_m…②，
且k與E的大小無(wú)關(guān)，因此可利用E=0時(shí)的狀況來(lái)求k，E=0時(shí)洛倫茲力充當(dāng)向心力，即
qv0B=m

v 2 0

R0

，得R0=

mv0

qB

，
其中的R₀就是對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)y₀，因此得：
k=

qB

m

，此時(shí)帶入②得：
ym=

mvm

qB

，將此式帶入①，整理后可得：

v

2 m

-

2E

B

vm-

v

2 0

=0，解得：vm=

E

B

±

( E B )2+ v 2 0

，舍棄負(fù)值，得：
vm=

E

B

+

( E B )2+ v 2 0

答：vm=

E

B

+

( E B )2+ v 2 0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，是考查學(xué)生綜合應(yīng)用物理和數(shù)學(xué)能力的好題．