Question

7．在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的光滑圓環(huán)軌道，一質(zhì)量為m的小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運(yùn)動，到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)的速率v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，則下述正確的是（　�。�

• A． 此球的最大速率是$\sqrt{5}$v_c
• B． 小球在任一直徑兩端點(diǎn)上的動能之和相等
• C． 小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力是$\frac{4mg}{5}$
• D． 小球沿圓軌道繞行一周所用的時(shí)間大于π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$

Answer 1

分析 小球運(yùn)動過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒．根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律結(jié)合求解和分析．

解答 解：A、當(dāng)此球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)速度最大，設(shè)為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{\;}}^{2}$，又v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，解得：v=$\sqrt{\frac{24gR}{5}}$，故A錯(cuò)誤．
B、設(shè)小球在任一直徑兩端點(diǎn)上的速率分別為v₁和v₂，相對于圓心的高度為h．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$+mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$-mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$+mgL
可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$=m$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$+2mgL=定值，故B正確．
C、在C點(diǎn)，設(shè)軌道對小球有向下的作用力，由牛頓第二定律得：mg+F=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：F=$\frac{1}{5}$mg，故C錯(cuò)誤．
D、小球沿圓軌道繞行一周所用的時(shí)間小于T=$\frac{2πR}{{v}_{C}}=π\(zhòng)sqrt{\frac{5R}{g}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵要掌握機(jī)械能守恒定律以及牛頓第二定律，關(guān)鍵搞清向心力的來源，運(yùn)用牛頓定律進(jìn)行求解．