Question

19．如圖所示，水平面上有一輕質彈簧，左端固定，水平面右側有一豎直放置的光滑半圓軌道ABC，A點與水平面相切，半徑為R=0.9m，O是圓心．現(xiàn)用一質量m=1.0kg的物體（可視為質點）將彈簧緩慢壓縮到某點，并由靜止釋放，物體離開彈簧后，沿光滑軌道運動，恰好能到達C點，最終落到水平面上的D點（圖中未畫出）．g取10m/s²．求：
（1）物體運動到C點時的速度大��；
（2）物體落地點D與A點間的距離；
（3）若物體到達A點速度為3$\sqrt{5}$m/s，則在A點處物體對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）物體恰好能到達C點，在C點，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解C點的速度．
（2）物體離開C點后做平拋運動，由運動的分解法求解物體落地點D與A點間的距離．
（3）在A點處，由牛頓第二定律結合牛頓第三定律求解即可．

解答 解：（1）據(jù)題，物體運動到C點時，由重力提供向心力，則有：
$mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$…①
代入數(shù)值解得：v_c=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.9}$=3m/s…②
（2）物體從C點開始做平拋運動，則有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Ct
則得：x=v_C$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=3×$\sqrt{\frac{4×0.9}{10}}$m=1.8m；
（3）在A點處，由牛頓第二定律得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N}=mg+m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}=60N$，
根據(jù)牛頓第三定律可知，在A點處物體對軌道的壓力為60N．
答：（1）物體運動到C點時的速度大小為3m/s；
（2）物體落地點D與A點間的距離為1.8m；
（3）若物體到達A點速度為3$\sqrt{5}$m/s，則在A點處物體對軌道的壓力為60N．

點評 本題考查了牛頓第二定律的直接應用，涉及到圓周運動和平拋運動，分析圓周運動向心力的來源，掌握平拋運動在豎直方向和水平方向上的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．