Question

15．如圖所示，小球a、b用等長(zhǎng)細(xì)線(xiàn)懸掛于同一固定點(diǎn)O．讓小球a靜止下垂，將小球b向右拉起，使細(xì)線(xiàn)水平，已知細(xì)線(xiàn)長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球a、b的質(zhì)量分別為2m和m，在小球a上固定有極少量火藥，由靜止釋放小球b，兩球碰撞后火藥會(huì)發(fā)生爆炸而使兩小球相互分開(kāi)，此后觀(guān)察到系小球a的細(xì)線(xiàn)與豎直方向的最大偏角為90°．忽略空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）火藥爆炸后系小球b的細(xì)線(xiàn)與豎直方向的最大偏角；
（2）兩球從碰撞前到火藥爆炸后過(guò)程中增加的機(jī)械能．

Answer 1

分析 （1）b球下擺過(guò)程中，只有重力做功，由動(dòng)能定理可以求出碰前b球的速度；碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律列方程，兩球向左擺動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律小球b的細(xì)線(xiàn)與豎直方向的最大偏角；
（2）兩球從碰撞前到火藥爆炸后過(guò)程中增加的機(jī)械能等于碰撞前后動(dòng)能的差．

解答 解：（1）b球下降的過(guò)程中機(jī)械能守恒，得：$mgL=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gL}$
由于碰撞后系小球a的細(xì)線(xiàn)與豎直方向的最大偏角為90°，所以小球a上升的高度也是L，所以a的速度大小也是$\sqrt{2gL}$，即等于v₀，選擇碰撞前b的速度方向?yàn)檎�方向，則碰撞的過(guò)程中滿(mǎn)足動(dòng)量守恒定律，設(shè)碰撞后b的速度為v，得：
mv₀=2mv₀+mv
所以：$v=-{v}_{0}=-\sqrt{2gL}$大小與碰撞前b的速度相等，
所以火藥爆炸后系小球b的到達(dá)的最大高度仍然是L，所以細(xì)線(xiàn)與豎直方向的最大偏角是90°．
（2）兩球從碰撞前到火藥爆炸后過(guò)程中增加的機(jī)械能：
$△E=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}•2m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=m{v}_{0}^{2}=2mgL$
答：（1）火藥爆炸后系小球b的細(xì)線(xiàn)與豎直方向的最大偏角是90°；
（2）兩球從碰撞前到火藥爆炸后過(guò)程中增加的機(jī)械能是2mgL．

點(diǎn)評(píng) 該題中碰撞的過(guò)程中也要火藥的作用，系統(tǒng)的機(jī)械能增大，所以機(jī)械能不守恒．小球小下擺或上擺過(guò)程中機(jī)械能守恒，碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，由動(dòng)能定理（或機(jī)械能守恒定律）、動(dòng)量守恒定律即可正確解題．