Question

【題目】如圖所示的軌道由半徑為R的 光滑圓弧軌道AB、豎直臺(tái)階BC、足夠長(zhǎng)的光滑水平直軌道CD組成．小車的質(zhì)量為M，緊靠臺(tái)階BC且上水平表面與B點(diǎn)等高．一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊自圓弧頂端A點(diǎn)由靜止下滑，滑過圓弧的最低點(diǎn)B之后滑到小車上．已知M=4m，小車的上表面的右側(cè)固定一根輕彈簧，彈簧的自由端在Q點(diǎn)，小車的上表面左端點(diǎn)P與Q點(diǎn)之間是粗糙的，滑塊與PQ之間表面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，Q點(diǎn)右側(cè)表面是光滑的．求：

（1）滑塊滑到B點(diǎn)的瞬間對(duì)圓弧軌道的壓力大�。�
（2）要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有滑離小車，則小車上PQ之間的距離應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（滑塊與彈簧的相互作用始終在彈簧的彈性范圍內(nèi)）

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)滑塊滑到B點(diǎn)的速度大小為v，到B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)滑塊的支持力為N，由機(jī)械能守恒定律有

…①

滑塊滑到B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律有：

…②

聯(lián)立①②式解得：N=3mg…③

根據(jù)牛頓第三定律，滑塊在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為：N′=3mg

答：滑塊滑到B點(diǎn)的瞬間對(duì)圓弧軌道的壓力大小3mg．

（2）解：滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車必然具有共同的末速度設(shè)為u，滑塊與小車組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有mv=（M+m）u…④

若小車PQ之間的距離L足夠大，則滑塊可能不與彈簧接觸就已經(jīng)與小車相對(duì)靜止，設(shè)滑塊恰好滑到Q點(diǎn)，由功能關(guān)系有 …⑤

聯(lián)立①④⑤式解得： …⑥

若小車PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點(diǎn)右側(cè)是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設(shè)滑塊恰好回到小車的左端P點(diǎn)處，由功能關(guān)系有

…⑦

聯(lián)立①④⑦式解得 …⑧

綜上所述并由⑥⑧式可知，要使滑塊既能擠壓彈簧，又最終沒有離開小車，PQ之間的距離L應(yīng)滿足的范圍是： …⑨

答：PQ之間的距離L應(yīng)滿足的范圍是 ．

【解析】（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)滑塊的支持力，從而求出滑塊對(duì)圓弧軌道的壓力大�。�（2）滑塊最終沒有離開小車，滑塊和小車必然具有共同的末速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出共同的速度，根據(jù)能量守恒求出滑塊與彈簧恰好不碰撞時(shí)PQ的長(zhǎng)度，該長(zhǎng)度為最大長(zhǎng)度．小車PQ之間的距離L不是很大，則滑塊必然擠壓彈簧，由于Q點(diǎn)右側(cè)是光滑的，滑塊必然被彈回到PQ之間，設(shè)滑塊恰好回到小車的左端P點(diǎn)處，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒求出L的最小值．從而得出L的范圍．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用機(jī)械能守恒及其條件和動(dòng)量守恒定律，掌握在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動(dòng)能和重力勢(shì)能（及彈性勢(shì)能）發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變；動(dòng)量守恒定律成立的條件：系統(tǒng)不受外力或系統(tǒng)所受外力的合力為零；系統(tǒng)所受的外力的合力雖不為零，但系統(tǒng)外力比內(nèi)力小得多；系統(tǒng)所受外力的合力雖不為零，但在某個(gè)方向上的分量為零，則在該方向上系統(tǒng)的總動(dòng)量的分量保持不變即可以解答此題．