Question

20．水面上方20米處的巖石上，用繩系住一小船，離岸20$\sqrt{3}$米，如圖所示，岸上的人用3米/秒的速率收繩，求：①剛開始時船的速度．②5秒末船的速度．③5秒內(nèi)船的平均速度．

Answer 1

分析 （1）由幾何關(guān)系可求得開始時繩子的長度以及繩子與水平方向之間的夾角，將船的速度沿繩子的方向以及垂直于繩子的方向分解即可求出；
（2）由幾何關(guān)系可求得5s后繩子在河面上的長度，則由速度的合成與分解可求得小船的速率；
（3）由幾何關(guān)系可求得船離河岸的距離，即可求得小船前進的距離，再由平均速度的定義式求出平均速度．

解答 解：（1）開始時繩子的長度：${l}_{1}=\sqrt{{h}^{2}+{x}^{2}}=\sqrt{2{0}^{2}+（20\sqrt{3}）^{2}}=40$m
所以繩子與水平方向之間的夾角的正弦值：sinθ=$\frac{h}{{l}_{1}}=\frac{20}{40}=0.5$
可知：θ=30°
設(shè)岸上的人的速度為v₀，船開始時的速度為v₁，由船的速度為合速度，由繩收縮的速度及繩擺動的速度合成得出，則：
v₀=v₁cosθ
所以：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{cosθ}=\frac{3}{cos30°}=2\sqrt{3}$m/s
（2）由題意可知，5秒末，則人行駛：L=v₀t=3×5=15米，
所以導(dǎo)致繩子長從40米變成25米，此時根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系可知，sin$β=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$
則由幾何關(guān)系可知，cosβ=$\frac{3}{5}$，
則船速v₂=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}=\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5m/s；
（3）人前進15m的后，小船到岸的距離：$x′=\frac{h}{tanβ}=\frac{20}{\frac{4}{3}}=15$m
所以船前進的距離：$△x=x-x′=20\sqrt{3}-15≈19.64$m
船的平均速度：$\overline{v}=\frac{△x}{t}=\frac{19.64}{5}=3.93$m/s
答：①剛開始時船的速度是$2\sqrt{3}$m/s．
②5秒末船的速度是5m/s．
③5秒內(nèi)船的平均速度是3.93m/s．

點評 運動的合成與分解一定要注意靈活把握好幾何關(guān)系，明確題目中對應(yīng)的位移關(guān)系及速度關(guān)系；畫出運動的合成與分解圖象非常關(guān)鍵．