Question

如圖所示，質(zhì)量M=2kg的滑塊套在光滑的水平軌道上，質(zhì)量m=1kg的小球通過(guò)長(zhǎng)L=0.5m的輕質(zhì)細(xì)桿與滑塊上的光滑軸O連接，小球和輕桿可在豎直平面內(nèi)繞O軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始輕桿處于水平狀態(tài)，現(xiàn)給小球一個(gè)豎直向上的初速度v₀=4m/s，g取10m/s²．

（1）若鎖定滑塊，試求小球通過(guò)最高點(diǎn)P時(shí)對(duì)輕桿的作用力大小和方向．

（2）若解除對(duì)滑塊的鎖定，試求小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

（3）在滿足 （2）的條件下，試求小球擊中滑塊右側(cè)軌道位置點(diǎn)與小球起始位置點(diǎn)間的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：  機(jī)械能守恒定律；牛頓第三定律；向心力；動(dòng)量守恒定律．

專(zhuān)題：  壓軸題．

分析：  （1）小球上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中，符合機(jī)械能守恒定律，先解決最高點(diǎn)小球的速度，再由向心力公式求得細(xì)桿對(duì)小球的作用力，根據(jù)牛頓第三定律知道球?qū)�桿的作用力．

（2）解除對(duì)滑塊的鎖定，小球在上升過(guò)程中，因系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，所以水平方向的動(dòng)量守恒；另外在上升過(guò)程中，因只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．聯(lián)立動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒方程求解．

（3）系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，兩個(gè)物體速度時(shí)刻滿足與質(zhì)量成反比的關(guān)系，在相同的時(shí)間內(nèi)位移也應(yīng)該滿足這個(gè)比例關(guān)系，而兩個(gè)物體之間的距離和為定值，故距離可求．本題也可以采用質(zhì)心原理求得．

解答：  解：（1）設(shè)小球能通過(guò)最高點(diǎn)，且此時(shí)的速度為v₁．在上升過(guò)程中，因只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒．則 …①

…②

設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的作用力為F，方向向下，

則 …③

由②③式，得 F=2N…④

由牛頓第三定律可知，小球?qū)�輕桿的作用力大小為2N，方向豎直向上．

（2）解除鎖定后，設(shè)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，此時(shí)滑塊的速度為V．

在上升過(guò)程中，因系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，水平方向的動(dòng)量守恒．

以水平向右的方向?yàn)檎�方向，�?mv₂﹣MV=0…⑤

在上升過(guò)程中，因只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，

則 …⑥

由⑤⑥式，得 v₂=2m/s

（3）設(shè)小球擊中滑塊右側(cè)軌道的位置點(diǎn)與小球起始點(diǎn)的距離為s₁，滑塊向左移動(dòng)的距離為s₂，

任意時(shí)刻小球的水平速度大小為v₃，滑塊的速度大小為V′．

由系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，得 mv₃﹣MV'=0…⑦

將⑦式兩邊同乘以△t，得 mv₃△t﹣MV'△t=0…⑧

因⑧式對(duì)任意時(shí)刻附近的微小間隔△t 都成立，累積相加后，有

ms₁﹣Ms₂=0…⑨

又 s₁+s₂=2L…⑩

由⑨⑩式得

答：（1）小球通過(guò)最高點(diǎn)P時(shí)對(duì)輕桿的作用力大小為2N，方向豎直向上．

（2）小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度v₂=2m/s．

（3）小球擊中滑塊右側(cè)軌道位置點(diǎn)與小球起始位置點(diǎn)間的距離

點(diǎn)評(píng)：  本題考查了連接體問(wèn)題中的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，滑塊鎖定和不鎖定的區(qū)別非常重要：滑塊鎖定小球機(jī)械能守恒，滑塊解鎖系統(tǒng)機(jī)械能守恒兩個(gè)物體水平方向上動(dòng)量守恒；這是一道比較困難的力學(xué)綜合題．可以作為高考的壓軸題出現(xiàn)．