Question

5．如圖所示，質(zhì)量為M=1.0kg的物體A置于可繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動的平臺上，物體A用細繩通過光滑的定滑輪與質(zhì)量為m=0.4kg的物體B相連，物體B懸于空中，假定A與軸0的距離r=0.5m，A與平臺間的最大靜摩擦力為重力的0.3倍，（g取10m/s²），求：
（1）物體A與圓盤保持相對靜止且不受摩擦力時，平臺的角速度ω₀；
（2）為使物體A與圓盤相對靜止，圓盤勻速轉(zhuǎn)動的角速度的大小范圍．

Answer 1

分析 （1）物體A與圓盤保持相對靜止且不受摩擦力時，繩子的拉力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出；
（2）當(dāng)此平面繞中心軸線以角速度ω轉(zhuǎn)動時，若M恰好要向里滑動時，ω取得最小值，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向外，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑動時，ω取得最大值，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向里，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M 所需要的向心力．根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范圍．

解答 解：（1）物體A與圓盤保持相對靜止且不受摩擦力時，繩子的拉力提供向心力，由牛頓第二定律得：
$mg=M{ω}_{0}^{2}r$
帶入數(shù)據(jù)得：${ω}_{0}=2\sqrt{2}$rad/s
（2）設(shè)此平面角速度ω的最小值為ω₁，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向外，則由牛頓第二定律得：
T-f_max=M${ω}_{1}^{2}$r，
又T=mg
聯(lián)立得：mg-f_max=M${ω}_{1}^{2}$r，
代入數(shù)據(jù)解得：ω₁=$\sqrt{2}$rad/s
設(shè)此平面角速度ω的最大值為ω₂，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向里，則由牛頓第二定律得：
T+f_max=M${ω}_{2}^{2}$r，
又T=mg
代入解得：ω₂=$\sqrt{14}$rad/s
故為使m處于靜止?fàn)顟B(tài)，角速度ω的何值范圍為：$\sqrt{2}$rad/s≤ω≤$\sqrt{14}$rad/s．
答：（1）物體A與圓盤保持相對靜止且不受摩擦力時，平臺的角速度是$2\sqrt{2}$rad/s；
（2）為使物體A與圓盤相對靜止，圓盤勻速轉(zhuǎn)動的角速度的大小范圍為$\sqrt{2}$rad/s≤ω≤$\sqrt{14}$rad/s．

點評 本題是圓周運動中臨界問題，抓住當(dāng)M恰好相對此平面滑動時靜摩擦力達到最大，由牛頓第二定律求解角速度的取值范圍．